Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Teilaufgabe b

Die Fläche $A$ wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 6$ begrenzt.

(1)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt von $A$.

FE

Teilaufgabe c

Für ein $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat:

\(\text{I: } t(z) = f(z)\)

\(\text{II: } t'(z) = f'(z)\)

\(\text{III: } \int_{0}^{z} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{z}^{c} t(x)\,\mathrm{d}x = 4\), wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1)

(i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I und II gewählt werden.

(ii)

Erläutern Sie den Term auf der linken Seite der Gleichung in Bedingung III.

(2)

Aus den Bedingungen folgt $z \approx 0{,}9428$. [Nachweis nicht erforderlich.]

(i)

Bestimmen Sie rechnerisch für $z = 0{,}9428$ eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph im Punkt $R(z \mid f(z))$ den Graphen von $f$ tangiert.

(ii)

Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$.