Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 modelliert das Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mit der Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders tragfähiger Spezialbeton verwendet. Dessen Materialkosten liegen bei $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Breite der Skatebahn beträgt an jeder Stelle $5\text{ m}$.

b)

Ermitteln Sie, welche Materialkosten das Element E2 verursacht. [3 Punkte]

€

Teilaufgabe e)

Modellieren Sie E3 mit der Funktion $g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$.

e) (1)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen.

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit deren Hilfe sich die Länge $d$ des Elements E3 so bestimmen lässt, dass sich Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ ergeben. [2 Punkte]

Die Gleichung liefert als Lösung eine Länge von $d \approx 8{,}24\text{ [m]}$.

(ii) Bestimmen Sie die Höhe von E4, die daraus folgt. [1 Punkt]

(iii) Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 eine feste Länge von $1{,}5\text{ m}$ hat. [1 Punkt]

[Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 liegen bei etwa $3\,500\text{ €}$.]

€

e) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

(i) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten. [2 Punkte]

%

(ii) Deshalb wird in einem neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst. E4 soll weiterhin eine Länge von $1{,}5\text{ m}$ haben.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 so ermitteln lässt, dass E3 und E4 zusammen Materialkosten von genau $12\,000\text{ €}$ verursachen.

[Hinweis: Die Gleichung braucht nicht gelöst zu werden.] [2 Punkte]