Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2022

Ein Transportunternehmen verfügt über insgesamt 150 Fahrzeuge, mit denen tagsüber Waren transportiert werden. Vom Abend eines Tages bis zum Morgen des nächsten Tages stehen die Fahrzeuge an einem der drei Standorte A, B und C. Die Verteilungen der Fahrzeuge auf die drei Standorte werden durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ angegeben; dabei sind a, b und c die Anzahlen der Fahrzeuge an den Standorten A, B bzw. C.

Die Änderung der Verteilung vom Abend eines Tages n zum Abend des folgenden Tages wird durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}5 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0{,}2 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}3 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ beschrieben.

a

Eines der beiden Diagramme I und II stellt den beschriebenen Sachzusammenhang dar. Geben Sie dieses Diagramm und dazu die passenden Werte von p und q an. [2 BE]

An einem Sonntagabend befinden sich 20 Fahrzeuge am Standort A, 60 am Standort B und 70 am Standort C.

b

Berechnen Sie für den folgenden Montagabend den prozentualen Anteil der Fahrzeuge am Standort A. [2 BE]

%

c

Gegeben ist die Gleichung $\begin{pmatrix} 0 & 0{,}5 & 0{,}1 \\ 0{,}2 & 0 & 0{,}6 \\ 0{,}1 & 0{,}3 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 60 \\ 70 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{pmatrix}$. Deuten Sie ohne zu rechnen den Term $a_1 + b_1 + c_1$ im Sachzusammenhang und begründen Sie Ihre Angabe. [4 BE]

Es gilt $M^2 = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}48 & 0{,}4 \\ 0{,}24 & 0{,}32 & r \\ 0{,}16 & 0{,}2 & s \end{pmatrix}$.

d

Berechnen Sie die Werte von r und s. [2 BE]

e

Beurteilen Sie jede der beiden folgenden Aussagen. [5 BE]

$A_1$: Wenn sich an einem Dienstagabend alle 150 Fahrzeuge am Standort B befinden, so sind am Abend des folgenden Donnerstags 32 % aller Fahrzeuge am Standort B.

$A_2$: Wenn sich an einem Dienstagabend kein Fahrzeug am Standort C befindet, so sind am Abend des folgenden Donnerstags mindestens 24 % aller Fahrzeuge am Standort B.

f

An einem Sonntag werden die Fahrten geplant, die in der folgenden Woche stattfinden. Aufgrund eines besonderen Auftrags beginnen am Mittwochmorgen 10 % der Fahrzeuge am Standort B und drei Fahrzeuge am Standort A eine Fernfahrt, von der sie innerhalb der Woche nicht zurückkehren werden. Gesucht ist die Verteilung der Fahrzeuge am Abend des Freitags der betrachteten Woche. Geben Sie einen Term an, mit dem die gesuchte Verteilung in Abhängigkeit von der Verteilung am Abend des genannten Sonntags berechnet werden könnte. [5 BE]