Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die beim Bau von Windkraftanlagen eingesetzt werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die darauf aufgebrachte Beschichtung eine hohe Qualität aufweisen.

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt 4,5 % der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

b) (1)

Für eine Untersuchung werden der Produktion zufällig 500 Schrauben entnommen.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 15 dieser Schrauben fehlerhaft sind.

b) (2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens 200 davon fehlerfrei sind.

c) (1)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt 5000 fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

Ermitteln Sie, wie viele Schrauben mindestens produziert werden müssen, damit der Erwartungswert für fehlerfreie Schrauben in dieser Produktion mindestens 5000 beträgt.

c) (2)

Produziert werden 5236 Schrauben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben dieser Produktion den Bedarf von „Wind 24“ deckt.

e) (1)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\text{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ (beides in $\mu\text{m}$) beschreiben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Schichtdicke (in $\mu\text{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube zwischen 7,5 und 8,5 liegt.

e) (2)

Für eine Normalverteilung mit der Dichtefunktion $\varphi$ heißt die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\mathrm{d}t$ Verteilungsfunktion.

Abbildung 1 zeigt die Dichtefunktion einer Normalverteilung, Abbildung 2 die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung.

Entscheiden Sie für jede der beiden Abbildungen begründet, ob die dargestellte Normalverteilung die Parameter $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ haben kann.

Nein

Ja

Ja

Nein