Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Aufgabenstellung

Eine Firma bringt Fitnessarmbänder auf den Markt. Wie sich der Absatz momentan ändert, lässt sich modellhaft durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = 4000 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Monaten, die seit der Produkteinfÿhrung verstrichen ist, und $f(x)$ die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Gleichzeitig mit der Einführung des Fitnessarmbands brachte das Unternehmen eine Smartwatch auf den Markt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat lässt sich im Modell mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $g$ mit$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}4x}$$beschreiben.

b) (1)

Vergleichen Sie für das Fitnessarmband und die Smartwatch die momentanen Änderungsraten des Absatzes fünf Monate nach der Markteinführung.

(2)

Ermitteln Sie, wie viele Smartwatches im ersten Jahr nach der Produkteinführung insgesamt verkauft wurden.

Stück

(3)

Untersuchen Sie im Modell, ob ein Zeitpunkt existiert, zu dem seit der Produkteinführung gleich viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden. Geben Sie diesen Zeitpunkt gegebenenfalls an.