Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und Lagebezie… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2022

Betrachtet wird der Stumpf $ABCDEFGH$ der schiefen Pyramide $ABCDS$. Die Grundfläche $ABCD$ mit $A(4|0|0)$, $B(4|4|0)$, $C(0|4|0)$ und $D(0|0|0)$ sowie die Deckfläche des Stumpfs mit $E(3|0|4)$, $F(3|3|4)$, $G(0|3|4)$ und $H(0|0|4)$ sind quadratisch.

Der Mittelpunkt $M$ der Kante $\overline{AB}$ und der Mittelpunkt $N$ der Kante $\overline{CG}$ liegen auf der Gerade$$j: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} -8 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \quad \text{mit } \mu \in \mathbb{R}.$$

Die Punkte der Kante $\overline{BC}$ lassen sich in der Form $P_w(w|4|0)$ darstellen.

b)

Erläutern Sie das folgende Vorgehen zur Bestimmung der $x_3$-Koordinate der Pyramidenspitze S:

$$\text{Aus } \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ s \end{pmatrix} \text{ ergibt sich } s = 16.$$

d)

Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $j$ mit der $x_1x_3$-Ebene.

$S_{x_1x_3}($

$|$

$|$

$)$

e)

Für einen Punkt $P_w$ der Kante $\overline{BC}$ schneidet die Gerade durch $H$ und $P_w$ die Gerade $j$. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von $w$.