Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungskolleg (2022)

Aufgabenstellung

Die Funktionenschar fkf_k wird durch die folgende Gleichung festgelegt: fk(x)=1k⋅x⋅e−k2⋅x,x∈R,k∈R,k≠0.f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}, \quad x \in \mathbb{R}, \quad k \in \mathbb{R}, \quad k \neq 0.

(1)

Zeigen Sie rechnerisch: fk′(x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅xf_k'(x) = \left(-k\cdot x + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}.

Für die weiteren Teilaufgaben dürfen Sie benutzen: fk′′(1k2)=−k⋅e−1f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k\cdot \mathrm{e}^{-1}.

(2)

Zeigen Sie, dass 1k2\frac{1}{k^2} bei jeder Funktion der Schar eine Extremstelle ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von kk die Funktionen der Schar an der Stelle 1k2\frac{1}{k^2} ein Minimum haben.

Aufgabenstellung: Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Zeigen Sie rechnerisch: f_k'(x) = (-k*x + 1/k)*e^(-k^2*x)

Lösung: Mithilfe der Produkt- und Kettenregel: fk′(x)=1k⋅(1⋅e−k2⋅x+x⋅(−k2)⋅e−k2⋅x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅xf_k'(x) = \frac{1}{k}\cdot(1\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x} + x\cdot(-k^2)\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}) = \left(-k\cdot x + \frac{1}{k}\right)\cdot \mathrm{e}^{-k^2\cdot x}.

(2) Zeigen Sie, dass 1/k^2 bei jeder Funktion der Schar eine Extremstelle ist...

Lösung: fk′(1k2)=0f_k'\left(\frac{1}{k^2}\right) = 0 und fk′′(1k2)=−k⋅e−1≠0f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k\cdot \mathrm{e}^{-1} \neq 0 für alle k≠0k \neq 0.

... und untersuchen Sie, für welche Werte von k die Funktionen der Schar an der Stelle 1/k^2 ein Minimum haben.

Lösung: k<0k < 0

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