Aufgabe B2 - Teilaufgabe d (Differentialrechnung) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Betrachtet wird die Funktion $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f$ ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

Für jedes $b \in \mathbb{R}$ ist der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$beschreibt die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$.

Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$ sind die Lösungen der Gleichung $f(x) = t_b(x)$. Mit einem Computeralgebrasystem erhält man dafür die Lösungen $x_1$, $x_2$ und $x_3$:$$x_1 = b, \quad x_2 = -b - \sqrt{6 - 2b^2}, \quad x_3 = -b + \sqrt{6 - 2b^2}.$$

d) (1)

Zeigen Sie: Für jedes $b \in \mathbb{R}$ stellt der Graph von $t_b$ mit

$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2} b^3 - \frac{3}{2} b\right) x - \frac{3}{8} b^4 + \frac{3}{4} b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$

die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$ dar.

d) (2) (iii)

Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß der maximale Abstand in $y$-Richtung zwischen den Graphen von $f$ und $t_1$ im Intervall $[-3; 1]$ ist.