Aufgabe 1 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR) (2022)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=x⋅e−12x2+12f(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}}. Die Abbildung 1 zeigt den Graphen von ff ohne das zugrunde liegende Koordinatensystem.

a)

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von ff, dass der Graph von ff symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. Begründen Sie, dass ff genau eine Nullstelle hat, und geben Sie den Grenzwert von ff für x→+∞x \to +\infty an.

x=x =

lim⁡x→+∞f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) =

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Lösung

Lösung von AprenAI (nicht die offizielle)

Zeigen Sie anhand des Funktionsterms von f, dass der Graph von f symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist.

Lösung: f(−x)=(−x)⋅e−12(−x)2+12=−x⋅e−12x2+12=−f(x)f(-x) = (-x) \cdot e^{-\frac{1}{2}(-x)^2 + \frac{1}{2}} = -x \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}} = -f(x)

Begründen Sie, dass f genau eine Nullstelle hat.

Lösung: Wegen e−12x2+12>0e^{-\frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}} > 0 für alle x∈Rx \in \mathbb{R} gilt f(x)=0  ⟺  x=0f(x) = 0 \iff x = 0.

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