Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg (2022)

Aufgabenstellung

Für eine Funktionenschar fkf_k gilt die folgende Gleichung fk(x)=1k⋅x⋅e−k2⋅x,x∈R, k∈R, k≠0.f_k(x) = \frac{1}{k} \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}, \quad x \in \mathbb{R},\ k \in \mathbb{R},\ k \neq 0.

(1)

Zeigen Sie rechnerisch: fk′(x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅xf_k'(x) = \left(-k \cdot x + \frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}.

Für die weiteren Teilaufgaben dürfen Sie benutzen: fk′′(1k2)=−k⋅e−1f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k \cdot \mathrm{e}^{-1}.

(2)

Zeigen Sie, dass 1k2\frac{1}{k^2} für jede Funktion der Schar eine Extremstelle ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von kk die Funktionen der Schar an der Stelle 1k2\frac{1}{k^2} ein Minimum aufweisen.

Aufgabenstellung: Aufgabe b · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

(1) Zeigen Sie rechnerisch: Es gilt fk′(x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅xf_k'(x) = \left(-k \cdot x + \frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}.

Lösung: Mithilfe der Produkt- und Kettenregel: fk′(x)=1k⋅(1⋅e−k2⋅x+x⋅(−k2)⋅e−k2⋅x)=(−k⋅x+1k)⋅e−k2⋅xf_k'(x) = \frac{1}{k} \cdot \left(1 \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x} + x \cdot (-k^2) \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}\right) = \left(-k \cdot x + \frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot x}

(2) Zeigen Sie, dass 1/k^2 eine Extremstelle aller Funktionen der Schar ist...

Lösung: fk′(1k2)=(−k⋅1k2+1k)⋅e−k2⋅1k2=(−1k+1k)⋅e−1=0⋅e−1=0f_k'\left(\frac{1}{k^2}\right) = \left(-k \cdot \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k^2 \cdot \frac{1}{k^2}} = \left(-\frac{1}{k} + \frac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-1} = 0 \cdot \mathrm{e}^{-1} = 0 Wegen fk′′(1k2)=−k⋅e−1≠0f_k''\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k \cdot \mathrm{e}^{-1} \neq 0 für alle k≠0k \neq 0 ist 1k2\frac{1}{k^2} eine Extremstelle aller Funktionen der Schar.

Bedingung an k für ein Minimum an der Stelle 1/k^2:

Lösung: k<0k < 0

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