Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass $$E_{\text{Dach}}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \in \mathbb{R}, \, t \in \mathbb{R},$$ eine Parametergleichung derjenigen Ebene darstellt, welche die Dachfläche $GEF$ enthält.

Sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ werden beschrieben durch$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \ge 0, \, t \ge 0, \, s + t \le 1.$$

(2)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Auf dem letzten Abschnitt des Fluges bewegt es sich auf einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$ beschrieben werden kann.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Gerade $g$ mindestens einen Punkt mit der dreieckigen Dachfläche $GEF$ gemeinsam hat.

$s =$

$t =$