Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder im Motorsport an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW reichen kann.

Die Geschwindigkeit eines solchen Dragsters während eines Rennens wird in der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der Dragster die Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Teilaufgabe a)

(1)

Geben Sie den Wert an, den $f$ an der Stelle 2 annimmt, und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Im weiteren Verlauf darf ohne Herleitung verwendet werden: $f''(t) = -\frac{35}{6}\cdot\left(2 - \frac{1}{6}t\right)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}$.

(2)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Stelle $t_{\text{max}}$, an der $f$ maximal wird, und geben Sie an, welche höchste Geschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: $t_{\text{max}} = 6$.]

(3)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert erreicht.