Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Der Längsschnitt dieses Abschnitts ist im Entwurf des Architekten in Abbildung 1 dargestellt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente – mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 – „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht in der Realität für $1\text{ m}$.

a) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 ist.

a) (3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

a) (4)

Aus Sicherheitsgründen darf der Betrag der Steigung an der steilsten Stelle der Bahn höchstens $0{,}85$ betragen.

Zeigen Sie, dass das Element E2 diese Vorgabe erfüllt.

e) (2)

Der Abschnitt E3 wird zuletzt mit einer Länge von $d = 7{,}5\text{ m}$ errichtet.

Um die Fahrten der Skater auf E3 aufzunehmen, wird eine Kamera in einer Höhe von $5\text{ m}$ oberhalb der unteren Randlinie von E3 angebracht. Vereinfacht wird ihre Position durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ beschrieben, wobei $x_K \approx 8{,}49$.

Bestimmen Sie den kleinsten Abstand des Punktes $K(8{,}49 \mid 5)$ zum Graphen von $g$.

f) (1)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt E2 entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h_u$ verwendet mit

$$h_u(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

Zeigen Sie, dass $h_u'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_u'$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f'$ übereinstimmen.

f) (2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ aufweist.