Aufgabe 2 (WTR 2) - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von $f_a$ stimmen mit den Lösungen der Gleichung $a \cdot x^2 = 1$ überein.

b)

Der Graph der Funktion $f_0$ ist eine Gerade. Geben Sie die Steigung dieser Gerade und die Koordinaten ihres Schnittpunkts mit der y-Achse an.

c)

Die folgenden Aussagen gelten für alle reellen Zahlen $a$, $a_1$ und $a_2$:

$f_a(0) = 0$

$f_a'(0) = f_0'(0)$

$f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \iff a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, was sich aus diesen Aussagen hinsichtlich des Verlaufs der Graphen der Schar folgern lässt.

d)

Zeigen Sie, dass die folgende Aussage für jeden Wert von $a$ richtig ist:

Wird der Graph von $f_a$ mit dem gleichen Faktor $k > 0$ sowohl in x-Richtung als auch in y-Richtung gestreckt, so stellt der dadurch entstehende Graph ebenfalls eine Funktion der Schar dar.