Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungskolleg

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an, die nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren müssen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW betragen kann.

Bei einem Rennen eines solchen Dragsters wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s), $f(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) an.

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start dar.

a)

(1) Geben Sie den Wert der Funktion $f$ an der Stelle 2 an und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

b)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Augenblick des Starts des Dragsters befindet es sich unmittelbar neben ihm. Die Funktion $g$ modelliert diese konstante Geschwindigkeit des Kamerafahrzeugs, dabei ist $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1) Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) ein und ermitteln Sie, für welche Dauer das Kamerafahrzeug innerhalb der ersten sechs Sekunden eine größere Geschwindigkeit hat als der Dragster.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an, die nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren müssen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW betragen kann.

Bei einem Rennen eines solchen Dragsters wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s), $f(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) an.

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start dar.

Im weiteren Verlauf darf ohne Herleitung die folgende Beziehung genutzt werden: $$f''(t) = -\frac{35}{6}\cdot\left(2 - \frac{1}{6}t\right)\cdot e^{-\frac{1}{6}t}$$

(2)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Stelle $t_{\text{max}}$, an der die Funktion $f$ ihr Maximum annimmt, und geben Sie die höchste Geschwindigkeit des Dragsters an.

[Kontrollwert: $t_{\text{max}} = 6$.]

(3)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie durch Rechnung nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert erreicht.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an, die nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren müssen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW betragen kann.

Bei einem Rennen eines solchen Dragsters wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s), $f(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) an.

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start dar.

Der Fahrer des Dragsters leitet acht Sekunden nach dem Start den Bremsvorgang ein. Ab diesem Zeitpunkt lässt sich die Geschwindigkeit des Dragsters durch eine lineare Funktion $b$ modellieren. Nach $20$ Sekunden, gerechnet vom Start, steht der Dragster still.

(2)

Stellen Sie in Abbildung 2 den Verlauf der Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch dar.

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Gleichung der Funktion $b$.

$b(t) =$

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ der Länge $805$ Meter an.

Zeigen Sie, dass der Dragster noch innerhalb dieser Zone anhält.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an, die nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren müssen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW betragen kann.

Bei einem Rennen eines solchen Dragsters wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Dabei ist $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s), $f(t)$ gibt die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s) an.

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Abbildung 2 stellt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start dar.

a)

(4) Die Funktion $F(t)$ soll die Strecke beschreiben, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei muss für $F$ die Bedingung $F'(t)=f(t)$ erfüllt sein.

(i)

Begründen Sie, dass die Bedingung $F'(t)=f(t)$ die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt.

(ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an die Funktion $F$ an, durch die $F$ zusammen mit $F'(t)=f(t)$ eindeutig bestimmt ist.

b)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Dragster-Starts ist es genau auf gleicher Höhe mit dem Dragster. Seine konstante Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ modelliert, wobei $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters angibt.

(2)

Geben Sie an, welche Strecke das Kamerafahrzeug in den ersten vier Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(3)

Nach diesen Modellierungen legen das Kamerafahrzeug und der Dragster in den ersten vier Sekunden nach dem Start ungefähr gleich lange Strecken zurück.

Begründen Sie diesen Sachverhalt mithilfe von Abbildung 1.

(4)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_0^1 (g(t)-f(t))\,\mathrm{d}t$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

c)

Hat der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, fährt er noch zwei weitere Sekunden mit gleichbleibender Geschwindigkeit. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit grafisch dar.

Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert.

[Zur Kontrolle: Etwa 6,9 Sekunden nach dem Start überquert der Dragster die Ziellinie.]

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Außerdem stellt der Punkt $W_2\left(1 \;\middle|\; -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt des Graphen von $f$ dar.

Funktionsgleichung zur Kontrolle: $$f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

a)

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Punkt $W_2\left(1 \,\middle|\, -\frac{5}{8}\right)$ liegt als Wendepunkt auf dem Graphen von $f$.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von $f$ bestimmen.

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung von $f$.

[Zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2$, $x \in \mathbb{R}$.]

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Außerdem stellt der Punkt $W_2\left(1 \;\middle|\; -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt des Graphen von $f$ dar.

Funktionsgleichung zur Kontrolle: $$f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

b)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten aller lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

$T_1$: ( |)

$T_2$: ( |)

$H$: ( |)

d) (1)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Graph der Funktion $t$ mit $$t(x) = -\frac{9}{16}\cdot x - \frac{27}{128}, \quad x \in \mathbb{R},$$ den Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{3}{2} \;\middle|\; f\left(\frac{3}{2}\right)\right)$ tangential berührt.

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Außerdem stellt der Punkt $W_2\left(1 \;\middle|\; -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt des Graphen von $f$ dar.

Funktionsgleichung zur Kontrolle: $$f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

e) Für jede reelle Zahl $a > 0$ schließen der Graph der Funktion $p_a$ mit der Gleichung $p_a(x) = a \cdot x^2$ und der Graph der Funktion $f$ im Bereich $x \geq 0$ eine Fläche ein. Diese Fläche wird durch die $x$-Achse unterteilt.

(1)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Graphen von $p_{0{,}3}$ (also für $a = 0{,}3$).

(2)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von $a$ die drei Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$, an denen die Graphen von $p_a$ und $f$ gemeinsame Punkte besitzen.

[Zur Kontrolle: $x_1 = -\sqrt{6 + 8\cdot a},\ x_2 = 0,\ x_3 = \sqrt{6 + 8\cdot a}$]

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Außerdem stellt der Punkt $W_2\left(1 \;\middle|\; -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt des Graphen von $f$ dar.

Funktionsgleichung zur Kontrolle: $$f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Teilaufgabe c)

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1)

Zeichnen Sie diese Sekante in Abbildung 1 ein.

Die Sekante und der Graph von $f$ haben außerdem weitere Schnittpunkte, die bei $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$ liegen.

[Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

(2)

Weisen Sie rechnerisch nach: $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x) - f(x))\,dx = 0$.

(3)

Ermitteln Sie $\int_{1}^{\sqrt{5}} (s(x) - f(x))\,dx$.

(4)

Geben Sie jetzt ohne zusätzliche Rechnung die Werte der folgenden Integrale an und begründen Sie Ihre Angaben (zum Beispiel mithilfe von Abbildung 1):

Teilaufgabe d)(2)

Die Graphen von $f$ und $t$ (mit $t(x) = -\frac{9}{16}x - \frac{27}{128}$) begrenzen eine Fläche, die sich aus zwei Teilflächen zusammensetzt.

Eine Schülerin meint, die größere Teilfläche sei mehr als achtmal so groß wie die kleinere.

Prüfen Sie, ob diese Aussage zutrifft.

Teilaufgabe e)(3)

Für jede reelle Zahl $a > 0$ schließen der Graph der Funktion $p_a$ mit $p_a(x) = a\cdot x^2$ und der Graph von $f$ im Bereich $x \geq 0$ eine Fläche ein. Diese Fläche wird durch die $x$-Achse unterteilt.

Ermitteln Sie einen Ansatz zur Berechnung des Wertes von $a$, für den die $x$-Achse die eingeschlossene Fläche halbiert.

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Piste misst nur etwa $527\text{ m}$ in der Länge und etwa $20\text{ m}$ in der Breite und ist geneigt. Landungen erfolgen ausschließlich bergauf, Starts ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu und beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Ortsbebauung reicht direkt bis an die Piste heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ dargestellt; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

a) (3)

Stellen Sie eine Parametergleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung aus dem Prüfungstext: $E:\vec{x} = \begin{pmatrix}0\\10\\65\end{pmatrix} + k\cdot \begin{pmatrix}523\\65\\-65\end{pmatrix} + l\cdot \begin{pmatrix}-523\\-20\\65\end{pmatrix}$, $k,l\in\mathbb{R}$.]

b)

Damit eine Landung sicher verläuft, muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe dient dem Piloten eine geradlinige Markierungsstrecke $s$ mit einer Länge von $20\text{ m}$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Diese Strecke unterteilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

$$\vec{x} = \begin{pmatrix}392{,}25\\0\\16{,}25\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}0\\20\\0\end{pmatrix},\quad t\in[0;1]$$ stellt eine Parameterform der Strecke $s$ dar.

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug längs der Geraden

$$g:\vec{x} = \begin{pmatrix}670\\10\\22\end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix}-15{,}5\\0\\-1\end{pmatrix},\quad r\in\mathbb{R}.$$

Prüfen Sie rechnerisch, ob das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

$S($

$|$

$|$

$)$

Ja

Nein

c) (1)

Um sichere Landungen zu gewährleisten, ist die Landebahn regelmäßig zu überprüfen.

Hierfür soll eine Drohne auf einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden

$$m:\vec{x} = \begin{pmatrix}523\\10\\0\end{pmatrix} + n\cdot \begin{pmatrix}-523\\0\\65\end{pmatrix},\quad n\in\mathbb{R}$$

verläuft und von der Landebahn den Abstand $12\text{ m}$ hat. [Hinweis: Der Abstand ist senkrecht zur Landebahn zu messen.]

Beschreiben Sie, wie die Gerade $m$ im Sachzusammenhang liegt.

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Piste misst nur etwa $527\text{ m}$ in der Länge und etwa $20\text{ m}$ in der Breite und ist geneigt. Landungen erfolgen ausschließlich bergauf, Starts ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu und beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Ortsbebauung reicht direkt bis an die Piste heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ dargestellt; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

a)

(1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ besitzt.

(2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn eine Länge $|\overline{AD}|$ von etwa $527\text{ m}$ hat.

(4)

Berechnen Sie sowohl den Winkel, um den die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, als auch ihre Steigung in Prozent.

°

%

c)

Damit Landungen sicher möglich sind, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür soll eine Drohne auf einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden $$m:\vec{x}=\begin{pmatrix}523\\10\\0\end{pmatrix}+n\cdot\begin{pmatrix}-523\\0\\65\end{pmatrix},\quad n\in\mathbb{R}$$ verläuft und von der Landebahn den Abstand $12\text{ m}$ hat.

[Hinweis: Den Abstand misst man senkrecht zur Landebahn.]

(2)

Zeigen Sie, dass der Vektor $\vec{v}=\begin{pmatrix}65\\0\\523\end{pmatrix}$ sowohl zu $\begin{pmatrix}523\\65\\-65\end{pmatrix}$ als auch zu $\begin{pmatrix}-523\\-20\\65\end{pmatrix}$ senkrecht ist.

Der Vektor $\vec{v}$ ist senkrecht zur Ebene $E$.

(3)

Ermitteln Sie durch Rechnung eine Parametergleichung für eine passende Gerade $h$.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie sich diese Blutmerkmale in der Bevölkerung verteilen, ist von Land zu Land verschieden.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

Um Komplikationen bei einer Bluttransfusion zu vermeiden, sind die Blutmerkmale Blutgruppe und Rhesusfaktor zu berücksichtigen. Gemeinsam bestimmen sie, welche Person für welche andere Blut spenden darf.

(1)

Weisen Sie nach, dass von den Personen mit der Blutgruppe B etwa 18,2 % den Rhesusfaktor negativ besitzen.

(2)

Aus den Personen der Blutgruppe B werden zufällig zwei ausgewählt.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie sich diese Blutmerkmale in der Bevölkerung verteilen, ist von Land zu Land verschieden.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

b) Für die folgenden Teilaufgaben gilt bei jeder Blutgruppe die Annahme, dass die Anzahl der Träger dieser Blutgruppe unter 200 zufällig ausgewählten Personen binomialverteilt ist.

Die relativen Häufigkeiten aus der Tabelle auf Seite 1 sind dabei als Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 200 zufällig ausgewählten Personen mindestens 20 die Blutgruppe B haben.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis $E$:

$E$: Die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A unter 200 zufällig ausgewählten Personen liegt höchstens 1,5-Standardabweichungen von ihrem Erwartungswert entfernt.

c) Blut der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ hat eine besondere Bedeutung. Wegen seiner guten Verträglichkeit kommt es in Notfällen besonders oft zum Einsatz.

Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ auf mindestens 20 Blutspenden der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ kommt.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausfällt. Wie sich diese Blutmerkmale in der Bevölkerung verteilen, ist von Land zu Land verschieden.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

d) Die Blutgruppe kann sich darauf auswirken, wie schwer Erkrankungen verlaufen. Für eine bestimmte Erkrankung beträgt die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs in der Gesamtbevölkerung $10\,\%$. Eine Wissenschaftlerin vermutet, dass diese Wahrscheinlichkeit bei Menschen mit Blutgruppe A niedriger ist, und möchte dies überprüfen. Dazu untersucht sie die Krankheitsverläufe von $1\,000$ zufällig ausgewählten Personen mit Blutgruppe A, die an dieser Krankheit erkrankt sind, und zählt, wie viele davon einen schweren Verlauf hatten.

Sie geht nur dann davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Erkrankten mit Blutgruppe A kleiner als $10\,\%$ ist, wenn in der Stichprobe höchstens $84$ Personen einen schweren Verlauf hatten.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wissenschaftlerin eine geringere Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs bei Personen mit Blutgruppe A annimmt, obwohl diese in Wirklichkeit $10\,\%$ beträgt.

[2 Punkte]

(2)

Nun sei angenommen, die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs dieser Erkrankung betrage bei Personen mit Blutgruppe A in Wirklichkeit nur $8\,\%$.

Bestimmen Sie unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wissenschaftlerin dennoch schlussfolgert, die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs bei Personen mit Blutgruppe A sei nicht kleiner als $10\,\%$.

[3 Punkte]

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so geregelt, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für einige andere Dromedare wird die Körpertemperatur für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ modelliert mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Wert von $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

a) (1)

Ermitteln Sie die Dauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ \text{°C}$ beträgt.

c) (1)

Die Körpertemperatur einiger anderer Dromedare wird für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ beschrieben mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Dabei gibt $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ die Körpertemperatur in Grad Celsius an. In Abbildung 2 sind zusätzlich zum Graphen von $k$ die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$ sowie $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$ abgebildet.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ welcher Graph zugeordnet ist:

Graph I:

Graph II:

Graph III:

c) (2)

Der Graph von $f_a$ hat für alle $a > 0$ das Maximum im Intervall $[0; 20]$ an der Stelle $t \approx 15{,}92$. Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\ \text{°C}$ nicht.

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a > 0$ die Funktion $f_a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ diese Bedingung einhält.

$a \leq$

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so geregelt, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für einige andere Dromedare wird die Körpertemperatur für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ modelliert mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Wert von $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

a) (2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren ist sie aufgrund der Anpassung an das Leben in der Wüste erheblich größer als beim Menschen.

Bestimmen Sie durch Rechnung die Temperaturspanne des Dromedars für den betrachteten Zeitraum.

a) (3)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Körpertemperatur des Dromedars innerhalb des betrachteten Zeitraums am stärksten zunimmt.

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so geregelt, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für einige andere Dromedare wird die Körpertemperatur für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ modelliert mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Wert von $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

b)

Der durchschnittliche Wert einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen.

Berechnen Sie für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr die mittlere Körpertemperatur des Dromedars.

Das Umweltbundesamt erfasst in regelmäßigen Abständen, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Messwerte erhoben, die durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \ 0 \le t \le 10$$ beschrieben werden. Dabei gibt $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden an und $k(t)$ die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie ihn im Kontext der Aufgabe.

(3)

Berechnen Sie $k'(8)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext der Aufgabe.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

(1)

Geben Sie sowohl die Nullstelle von $f$ als auch den Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse an.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

(2)

Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ an der Stelle $x = -2$ besitzt.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Die Abbildungen 2a und 2b zeigen die Graphen der Funktionen $A$ und $B$.

(1)

Berechnen Sie $\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Die Abbildungen 2a und 2b zeigen die Graphen der Funktionen $A$ und $B$.

(2) Die Abbildungen 2a und 2b zeigen die Graphen der Funktionen $A$ und $B$.

Von diesen beiden Funktionen ist genau eine keine Stammfunktion von $f$.

Begründen Sie unter Verwendung der Funktionsgraphen, bei welcher der beiden Funktionen $A$ und $B$ es sich nicht um eine Stammfunktion von $f$ handelt.

Es seien $Q(-2 \mid 4 \mid -1)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$ vorgegeben.

(1)

Zeigen Sie, dass der Punkt $P(10\mid 8\mid 5)$ zur Geraden $g$ gehört.

Es seien $Q(-2 \mid 4 \mid -1)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$ vorgegeben.

(2)

Bestimmen Sie die Koordinaten sämtlicher Punkte der Geraden $g$, deren Entfernung zum Punkt $Q$ $35\text{ LE}$ beträgt.

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Der Koordinatenursprung $O$ und die Punkte $A$, $B$ und $C$ legen ein Parallelogramm $OABC$ fest. Abbildung 3 zeigt das Parallelogramm $OABC$ samt seinen Diagonalen $e$ und $f$.

(1)

Gegeben sind die Vektoren $\vec{u} = \vec{OA} + \vec{AB}$ und $\vec{v} = \vec{OA} - \vec{AB}$.

Ein Vektor aus $\vec{u}$ und $\vec{v}$ beschreibt die Diagonale $e$, der andere die Diagonale $f$.

Nun seien die Eckpunkte $A$ und $B$ durch die Koordinaten $A(2 \mid 0 \mid 2\sqrt{3})$ und $B(4 \mid -3 \mid 3\sqrt{3})$ gegeben.

(2)

(3)