Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2022

1 In einem Koordinatensystem sind die Punkte $P(2|-3|-12)$, $Q(3|-7|9)$ und $R(10|-20|-4)$ gegeben. Der Koordinatenursprung wird mit $O$ bezeichnet.

a

Zeigen Sie, dass die Punkte $P$, $Q$ und $R$ nicht auf einer Gerade liegen. [2 BE]

b

Berechnen Sie für das Dreieck $PQR$ die Größe des Innenwinkels im Punkt $P$. [3 BE]

°

c

Betrachtet werden die Punkte, deren Ortsvektoren sich in der Form $\vec{OP} + \lambda \cdot \vec{PQ} + \mu \cdot \vec{PR}$ mit $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$ darstellen lassen. Markieren Sie in jeder der beiden Abbildungen alle Punkte, die der darüber angegebenen Bedingung I bzw. II genügen. [3 BE]

I $0 \le \lambda \le 1$ und $\mu = 0$

II $0 \le \lambda + \mu \le 1$ und $\lambda, \mu \ge 0$

d

Betrachtet wird die Menge der Punkte $S_\sigma$, für deren Ortsvektoren Folgendes gilt: $$\vec{OS_\sigma} = \vec{OR} + \sigma \cdot \vec{PQ} \text{ mit } \sigma \in \mathbb{R}\setminus\{0\}$$ Begründen Sie, dass die Flächeninhalte der Dreiecke $PQS_\sigma$ mit dem Flächeninhalt des Dreiecks $PQR$ übereinstimmen. [3 BE]