Aufgabe 2 (WTR 2) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Betrachtet wird nun die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a: x \mapsto x \cdot e^{-\frac{1}{2}a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$ mit $a \in \mathbb{R}$.

Die Graphen der Schar lassen sich in die beiden folgenden Gruppen I und II einteilen:

I Der Graph hat genau zwei Extrempunkte.

II Der Graph hat keine Extrempunkte.

Die Abbildung 2 zeigt einen Graphen der Gruppe I, die Abbildung 3 einen Graphen der Gruppe II.

Die Extremstellen von $f_a$ stimmen mit den Lösungen der Gleichung $a \cdot x^2 = 1$ überein.

e)

Geben Sie zu jeder der beiden Gruppen I und II alle zugehörigen Werte von $a$ an und begründen Sie Ihre Angabe.

f)

Alle Extrempunkte der Graphen der Schar liegen auf einer Gerade. Begründen Sie, dass es sich dabei um die Gerade mit der Gleichung $y = x$ handelt.

g)

Für jeden positiven Wert von $a$ bilden der Hochpunkt $(v \mid f_a(v))$ des Graphen von $f_a$, der Punkt $\left(0 \mid \frac{2}{v}\right)$, der Koordinatenursprung und der Punkt $(v \mid 0)$ die Eckpunkte eines Vierecks. Bestimmen Sie ausgehend von einer geeigneten Skizze denjenigen Wert von $a$, für den das Viereck den Flächeninhalt $49$ hat.