Aufgabe B1 - Teilaufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einer Motorsportveranstaltung an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich bewältigen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, \ k > 0$$ beschrieben. Dabei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die Momentangeschwindigkeit des jeweiligen Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem ein Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

a) Nach zwei Sekunden hat ein Dragster schon eine Geschwindigkeit von $50\text{ m/s}$ erreicht.

(1)

Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $k$.

(2)

Bei einem zweiten Dragster beträgt $k = 0{,}2$.

Keiner der beiden Dragster erreicht innerhalb der ersten vier Sekunden seine Höchstgeschwindigkeit. Während dieser vier Sekunden ist eines der beiden Fahrzeuge durchgehend schneller als das andere.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Dragster während dieser vier Sekunden die größere Geschwindigkeit hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Funktionsterme.