Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Skatepark wird um einen neuen Teilabschnitt erweitert. Den Längsschnitt dieses Abschnitts zeigt der Entwurf des Architekten in Abbildung 1.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, deren Seitenwände senkrecht stehen. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander übergehen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt dies nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R} \. Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Teilaufgabe a)

(2)

Ermitteln Sie durch Rechnung, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 ist.

(3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

(4)

Aus Sicherheitsgründen darf die Steigung an der steilsten Stelle der Bahn betragsmäßig höchstens 0,85 betragen. Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

Teilaufgabe e)

Der Abschnitt E3 wird letztlich mit der Länge $d = 7{,}5\text{ [m]}$ errichtet. Um die Skater auf E3 zu filmen, wird eine Kamera $5\text{ m}$ oberhalb der unteren Randlinie von E3 angebracht. Vereinfacht wird ihre Position durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ beschrieben.

(1)

Ermitteln Sie den Wert von $x_K$, bei dem $K$ von den Punkten $B$ und $C$ denselben Abstand hat.

(2)

Bestimmen Sie den kleinsten Abstand zwischen dem Punkt $K(8{,}49 \mid 5)$ und dem Graphen von $g$.

Teilaufgabe f)

In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 ähnlich gebaut werden, jedoch mit steilerem Verlauf. Dafür wird hier eine Funktion $h_u$ verwendet mit $$h_u(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

(1)

Zeigen Sie, dass $h_u'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_u'$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f'$ übereinstimmen.

(2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ aufweist.