Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2022

2 Ein Unternehmen bietet in einer Stadt insgesamt 2400 Fahrräder zum Ausleihen an. Das Stadtgebiet ist in die drei Bereiche A, B und C aufgeteilt. Die Verteilung der Fahrräder in der Stadt kann durch einen Vektor der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ beschrieben werden, wobei $a$, $b$ und $c$ die Anzahlen der Fahrräder in den Bereichen A, B bzw. C sind. Die Entwicklung der Verteilung vom Ende eines Tages zum Ende des nächsten Tages wird modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $M = \begin{pmatrix} 0{,}8 & 0 & 0{,}4 \\ 0 & 0{,}6 & 0{,}3 \\ 0{,}2 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{pmatrix}$ beschrieben.

a

Interpretieren Sie im Sachzusammenhang den Eintrag $0{,}8$ in der Matrix $M$ sowie die Tatsache, dass die Summe der Einträge der dritten Spalte von $M$ den Wert $1$ hat. [2 BE]

b

Am Ende eines Montags befinden sich in jedem Bereich gleich viele Fahrräder. Berechnen Sie die Anzahl der Fahrräder im Bereich A am Ende des folgenden Freitags. [2 BE]

Am Ende eines Dienstags wird die Verteilung durch $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 800 \\ b_0 \\ 1600 - b_0 \end{pmatrix}$ beschrieben. Ausgehend davon soll die Entwicklung der Verteilung der Fahrräder genauer untersucht werden. Dazu wird der Vektor $\vec{v}_0$ in der Form $r\cdot\vec{x} + s\cdot\vec{y} + t\cdot\vec{z}$ mit $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $\vec{y} = \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ und $\vec{z} = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ dargestellt. Es gilt $M \cdot \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $M \cdot \vec{y} = 0{,}7 \cdot \vec{y}$ und $M \cdot \vec{z} = \vec{z}$.

c

Zeigen Sie, dass für $n > 0$ gilt: $\vec{v}_n = s \cdot 0{,}7^n \cdot \vec{y} + t \cdot \vec{z}$. [3 BE]

d

Bestimmen Sie die Werte von $s$ und $t$ in Abhängigkeit von $b_0$. Zeigen Sie, dass die Anzahl der Fahrräder im Bereich A am Ende des Tages $n$ für $n > 0$ mit dem Term $1280 - \frac{4}{7}b_0 \cdot 0{,}7^n$ berechnet werden kann. [3 BE]

e

Nach dem genannten Dienstag befinden sich am Ende jedes Tags mindestens 800 Fahrräder im Bereich A. Ermitteln Sie, wie viele Fahrräder am Ende des genannten Dienstags im Bereich B gewesen sein können. [4 BE]