Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Nachtermin · CAS

Das Umweltbundesamt erfasst in regelmäßigen Abständen, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Messwerte erhoben, die durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \; 0 \le t \le 10$$

beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist. [1 Punkt]

μg/m³

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\frac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie das Ergebnis bezogen auf den Sachkontext. [2 Punkte]

μg/m³ pro Stunde

(3)

Berechnen Sie $k'(8)$ und interpretieren Sie das Ergebnis bezogen auf den Sachkontext. [2 Punkte]

μg/m³ pro Stunde

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x+10)\cdot\mathrm{e}^{5x+3}$, $x \in \mathbb{R}$.

(1) Geben Sie sowohl die Nullstelle von $f$ als auch den Punkt an, in dem der Graph von $f$ die $y$-Achse schneidet. [2 Punkte]

•

$x =$

•

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x+10)\cdot\mathrm{e}^{5x+3}$, $x \in \mathbb{R}$.

(2) Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ an der Stelle $x = -2$ besitzt. [3 Punkte]

$m =$

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$, deren Definitionsbereich $\mathbb{R}$ ist.

In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

(1)

Berechnen Sie $\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$, deren Definitionsbereich $\mathbb{R}$ ist.

In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

(2) Die Abbildungen 2a und 2b zeigen die Graphen der Funktionen $A$ und $B$. Von diesen beiden Funktionen ist genau eine keine Stammfunktion von $f$.

Begründen Sie mithilfe der Graphen, welche der beiden Funktionen $A$ und $B$ keine Stammfunktion von $f$ darstellt.

Betrachtet werden der Punkt $Q(-2|4|-1)$ sowie die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$.

(1)

Zeigen Sie, dass der Punkt $P(10\mid 8\mid 5)$ zur Geraden $g$ gehört.

Betrachtet werden der Punkt $Q(-2|4|-1)$ sowie die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$.

(2)

Bestimmen Sie die Koordinaten sämtlicher Punkte der Geraden $g$, deren Entfernung vom Punkt $Q$ $35\,\text{LE}$ beträgt.

e) Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $A$, $B$ und $C$ bilden das Parallelogramm $OABC$. Die Abbildung 3 zeigt dieses Parallelogramm $OABC$ samt seinen Diagonalen $e$ und $f$.

(1)

Betrachtet werden die Vektoren $\vec{u} = \vec{OA} + \vec{AB}$ und $\vec{v} = \vec{OA} - \vec{AB}$.

Von diesen beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ ist einer der Diagonalen $e$ zugeordnet, der andere der Diagonalen $f$.

Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren der Diagonalen $f$ zugeordnet ist.

$\vec{ }$

Für die weiteren Teilaufgaben gilt: Die Eckpunkte $A$ und $B$ besitzen die Koordinaten $A(2 \mid 0 \mid 2\sqrt{3})$ und $B(4 \mid -3 \mid 3\sqrt{3})$.

(2)

Zeigen Sie, dass für den Eckpunkt $C$ gilt: $C(2 \mid -3 \mid \sqrt{3})$.

(3)

Zeigen Sie, dass die Diagonalen $e$ und $f$ aufeinander senkrecht stehen.

Eine Firma erstellt einen Test, der aus mehreren Fragen besteht. Bei jeder Frage liegt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort durch Raten zu treffen, bei $\frac{1}{4}$.

Jonas bearbeitet den Test, ohne sich jemals mit dem Thema befasst zu haben; er rät folglich bei jeder Frage.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen und wird als binomialverteilt angenommen.

Durch den Aufbau des Tests ist zu erwarten, dass Jonas beim Raten sechs Fragen richtig beantwortet.

(1)

Ermitteln Sie die Anzahl der Fragen, aus denen der Test besteht. [1 Punkt]

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Jonas von 24 Fragen genau sechs richtig beantwortet. [2 Punkte]

(3)

Jonas will mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % wenigstens eine Frage richtig beantworten.

Ermitteln Sie mithilfe der folgenden Histogramme, wie viele Fragen Jonas hierfür mindestens bearbeiten muss. [2 Punkte]

e) Es sei $X$ eine binomialverteilte Zufallsgröße mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}5$.

(1)

Ermitteln Sie die Werte, die in der nachstehenden Tabelle noch fehlen.

$k$ · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

$P(X = k)$ · $\frac{1}{16}$ · · · · $\frac{1}{16}$

Genau eine der beiden folgenden Abbildungen 3 und 4 stellt die kumulierten Werte $P(X \leq k)$ der Zufallsgröße $X$ dar. Die andere Abbildung gehört zu einer anderen Zufallsgröße.

(2)

Entscheiden Sie mit Begründung, welche der beiden Abbildungen 3 und 4 die Zufallsgröße $X$ darstellt.

Abbildung 3

Abbildung 4

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder im Motorsport an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit speziellen Fahrzeugen, den Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW beträgt.

Für ein Rennen eines solchen Dragsters beschreibt die Funktion $f$ mit der Gleichung die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit:

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$ Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ für die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

a) (1)

Geben Sie den Wert der Funktion $f$ an der Stelle 2 an und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

a) (2)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Stelle $t_{\text{max}}$, an der $f$ maximal wird, und geben Sie die höchste Geschwindigkeit des Dragsters an.

[Zur Kontrolle: $t_{\text{max}} = 6$.]

a) (3)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert annimmt.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder im Motorsport an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit speziellen Fahrzeugen, den Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW beträgt.

Für ein Rennen eines solchen Dragsters beschreibt die Funktion $f$ mit der Gleichung die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit:

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$ Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ für die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Teilaufgabe a (4)

(4) Die Funktion $F(t)$ soll die Strecke beschreiben, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei soll für $F$ die Bedingung $F'(t)=f(t)$ erfüllt sein.

(i)

Begründen Sie, dass $F$ allein durch die Bedingung $F'(t)=f(t)$ noch nicht eindeutig bestimmt ist.

(ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an die Funktion $F$ an, durch die $F$ zusammen mit $F'(t)=f(t)$ eindeutig bestimmt ist.

Teilaufgabe b

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Starts des Dragsters befindet es sich genau neben ihm. Seine konstante Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ modelliert; dabei ist $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) und ermitteln Sie, für welche Zeitdauer das Kamerafahrzeug in den ersten sechs Sekunden schneller als der Dragster ist.

(2)

Geben Sie an, welche Strecke das Kamerafahrzeug in den ersten vier Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(3)

Nach diesen Modellierungen legen das Kamerafahrzeug und der Dragster in den ersten vier Sekunden nach dem Start ungefähr gleich lange Strecken zurück. Begründen Sie dies mithilfe von Abbildung 1.

(4)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{1}(g(t)-f(t))\,\mathrm{d}t$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Teilaufgabe c

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Sobald der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, fährt er zwei weitere Sekunden mit gleichbleibender Geschwindigkeit. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit grafisch dar. Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert.

[Zur Kontrolle: Der Dragster überquert die Ziellinie etwa 6,9 Sekunden nach dem Start.]

Der Fahrer beginnt acht Sekunden nach dem Start zu bremsen. Ab diesem Zeitpunkt wird die Geschwindigkeit des Dragsters durch eine lineare Funktion $b$ beschrieben. Nach 20 Sekunden steht der Dragster.

(2)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch dar. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Funktion $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ von $805\text{ Metern}$ Länge an. Zeigen Sie, dass der Dragster innerhalb dieser Zone zum Stehen kommt.

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$). In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen:

a)

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist und den Koordinatenursprung enthält. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von $f$ bestimmen.

Ermitteln Sie mithilfe der Angaben eine Gleichung der Funktion $f$.

[Zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^4 - \frac{3}{4}\cdot x^2,\; x \in \mathbb{R}$.]

(5 Punkte)

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$). In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen:

b)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

[5 Punkte]

e)

Für jedes $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ sind die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks $PQ_uR_u$.

(1) Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ durch folgenden Term gegeben ist:

$$A(u) = -\frac{1}{16} \cdot u^5 + \frac{3}{8} \cdot u^3.$$

[2 Punkte]

(2) Ermitteln Sie den Wert von $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist.

[2 Punkte]

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$). In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen:

Teilaufgabe c

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1)

Zeichnen Sie diese Sekante in Abbildung 1 ein.

Die Sekante und der Graph von $f$ schneiden sich außerdem bei $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$.

[Ein Nachweis dafür wird nicht verlangt.]

(2) (i)

Ermitteln Sie die Werte dieser Integrale:

(2) (ii)

Geben Sie jetzt ohne zusätzliche Rechnung die Werte der Integrale an und begründen Sie Ihre Angaben (z. B. mithilfe von Abbildung 1):

Teilaufgabe d

(1)

Weisen Sie rechnerisch nach, dass der Graph der Funktion $t$ mit $t(x) = -\frac{9}{16}x - \frac{27}{128},\ x \in \mathbb{R}$, den Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{3}{2} \,\middle|\, f\left(\frac{3}{2}\right)\right)$ tangiert.

(2)

Der Graph von $f$ und der Graph von $t$ umschließen eine Fläche, die sich aus zwei Teilstücken zusammensetzt.

Eine Schülerin vermutet, dass die größere Teilfläche mehr als das Achtfache der kleineren Teilfläche beträgt.

Prüfen Sie, ob diese Vermutung zutrifft.

Teilaufgabe f

Zu jeder reellen Zahl $a > 0$ gehört die Funktion $p_a$ mit der Gleichung $p_a(x) = a \cdot x^2$.

Abbildung 2 zeigt beispielhaft neben dem Graphen von $f$ auch den Graphen von $p_{0{,}3}$ ($a = 0{,}3$).

(1)

Die Graphen von $p_{\frac{3}{8}}$ $\left(a = \frac{3}{8}\right)$ und $f$ haben die drei gemeinsamen Punkte $M$, $N$ und $O(0|0)$.

Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks $MNO$.

(2)

Für jedes $a > 0$ umschließen die Graphen von $p_a$ und $f$ im Bereich $x \geq 0$ eine Fläche, die von der $x$-Achse in Teile zerlegt wird.

Ermitteln Sie den Wert von $a$, bei dem die $x$-Achse die eingeschlossene Fläche in zwei gleich große Teile teilt.

Aufgabenstellung

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; beim Landen rollen die Flugzeuge dabei auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Bebauung des Ortes reicht direkt an die Landebahn heran.

1 © Frank Kehren

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

a) (3)

Stellen Sie eine Parametergleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

b)

Damit eine Landung sicher verläuft, muss das Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine $20\text{ m}$ lange gerade Strecke $s$, die quer zur Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Diese Strecke unterteilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 392{,}25 \\ 0 \\ 16{,}25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in [0; 1],$$ist eine Parameterdarstellung der Strecke $s$.

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug auf der Geraden$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$Prüfen Sie rechnerisch, ob das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

Ja

Nein

c) (1)

Damit Landungen sicher bleiben, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierzu soll eine Drohne auf einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 523 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad n \in \mathbb{R},$$verläuft und von der Landebahn den Abstand $12\text{ m}$ hat.

[Hinweis: Den Abstand misst man senkrecht zur Landebahn.]

Beschreiben Sie, wie die Gerade $m$ im Sachkontext liegt.

Aufgabenstellung

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; beim Landen rollen die Flugzeuge dabei auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Die Bebauung des Ortes reicht direkt an die Landebahn heran.

1 © Frank Kehren

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ besitzt.

a) (2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn $|\overline{AD}|$ eine Länge von etwa $527\text{ m}$ hat.

a) (4)

Berechnen Sie den Steigungswinkel der Landebahn zur Horizontalen und die Steigung der Landebahn in Prozent.

Teilaufgabe c)

Damit Landungen sicher möglich sind, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür soll eine Drohne längs einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden

$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 523 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad n \in \mathbb{R},$$

verläuft und von der Landebahn den Abstand $12\text{ m}$ hat. [Hinweis: Den Abstand misst man senkrecht zur Landebahn.]

c) (2)

Zeigen Sie, dass der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix}$ sowohl zu $\begin{pmatrix} 523 \\ 65 \\ -65 \end{pmatrix}$ als auch zu $\begin{pmatrix} -523 \\ -20 \\ 65 \end{pmatrix}$ senkrecht ist.

c) (3)

Der Vektor $\vec{v}$ ist senkrecht zur Ebene $E$. Ermitteln Sie durch Rechnung eine Parametergleichung einer passenden Geraden $h$.

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie sich die Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

In der deutschen Bevölkerung liegt ungefähr diese Verteilung vor 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

a) Um Komplikationen bei einer Bluttransfusion zu vermeiden, müssen die Blutmerkmale Blutgruppe und Rhesusfaktor berücksichtigt werden. Gemeinsam legen diese beiden Merkmale fest, welche Person für welche andere als Blutspender infrage kommt.

(1)

Weisen Sie nach, dass der Anteil der Personen mit Rhesusfaktor negativ an allen Personen mit der Blutgruppe B etwa $18{,}2\,\%$ beträgt.

(2)

Aus den Personen der Blutgruppe B werden zufällig zwei ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide ausgewählten Personen denselben Rhesusfaktor haben.

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie sich die Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

In der deutschen Bevölkerung liegt ungefähr diese Verteilung vor 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

b) Für die folgenden Teilaufgaben gilt für jede Blutgruppe die Annahme, dass die Anzahl der Personen mit dieser Blutgruppe in einer Stichprobe von 200 zufällig ausgewählten Personen binomialverteilt ist. Die relativen Häufigkeiten der Tabelle sind dabei als Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 200 zufällig ausgewählten Personen mindestens 20 die Blutgruppe B haben.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ereignis $E$:

E: Unter 200 zufällig ausgewählten Personen liegt die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A höchstens 1,5-Standardabweichungen vom Erwartungswert entfernt.

c) Blut der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ hat eine besondere Bedeutung. Wegen seiner guten Verträglichkeit wird es in Notfällen besonders oft verwendet.

Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssen, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % wenigstens 20 Blutspenden der Blutgruppe 0 mit dem Rhesusfaktor negativ erhält.

Jede Person gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB). Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie sich die Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

In der deutschen Bevölkerung liegt ungefähr diese Verteilung vor 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

d) Die Blutgruppe kann sich darauf auswirken, wie schwer eine Erkrankung verläuft. Für eine bestimmte Krankheit beträgt die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs in der Gesamtbevölkerung $10\,\%$. Eine Wissenschaftlerin nimmt an, dass diese Wahrscheinlichkeit bei Menschen mit Blutgruppe A niedriger ist, und möchte dies überprüfen. Dazu betrachtet sie die Verläufe bei $1\,000$ zufällig ausgewählten an dieser Krankheit erkrankten Personen mit Blutgruppe A und stellt fest, wie viele davon einen schweren Verlauf hatten.

Nur wenn in der Stichprobe höchstens $84$ Personen einen schweren Verlauf hatten, schließt sie daraus, dass die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Erkrankten mit Blutgruppe A kleiner als $10\,\%$ ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wissenschaftlerin eine geringere Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Personen mit Blutgruppe A annimmt, obwohl diese in Wirklichkeit $10\,\%$ beträgt. (2 Punkte)

(2)

Nun sei angenommen, die tatsächliche Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs dieser Erkrankung bei Personen mit Blutgruppe A betrage nur $8\,\%$.

Bestimmen Sie unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wissenschaftlerin dennoch folgert, die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs bei Personen mit Blutgruppe A sei nicht kleiner als $10\,\%$. (3 Punkte)

Aufgabenstellung:

Als Tiere der Wüste erleben Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb steuern durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Teilaufgabe a)

(1)

Ermitteln Sie die Zeitdauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

(2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren fällt sie aufgrund ihrer Anpassung an die Wüste deutlich größer aus als beim Menschen. Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne des Dromedars im betrachteten Zeitraum.

(3)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum am stärksten zunimmt.

Aufgabenstellung:

Als Tiere der Wüste erleben Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb steuern durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Teilaufgabe b)

Der Ausdruck $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ liefert den Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a; b]$.

Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

Aufgabenstellung:

Als Tiere der Wüste erleben Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb steuern durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

c) Auch bis zum Tagesende um 24 Uhr nimmt die Körpertemperatur des durstenden Dromedars weiter ab. Für $20 \le t \le 24$ soll dieser Verlauf mit einer linearen Funktion $g$ beschrieben werden, deren Graph im Punkt $(20 \mid k(20))$ ohne Knick an den Graphen von $k$ anschließt.

(1)

Berechnen Sie eine Gleichung für die lineare Funktion $g$. [2 Punkte]

$m =$

$n =$

(2)

Dieses Dromedar hat um 24 Uhr eine Körpertemperatur von etwa $37^\circ\text{C}$.

Prüfen Sie, ob der mit $g$ modellierte Temperaturwert zur um 24 Uhr gemessenen Körpertemperatur passt. [1 Punkt]

$g(24) =$

$^\circ\text{C}$

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Als Tiere der Wüste erleben Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb steuern durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch möglichst wenig Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

d) Die Körpertemperatur weiterer Dromedare lässt sich für $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise mithilfe von Funktionen $f_a$ modellieren mit$$f_a(t) = a \cdot \left( -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t \right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Je nach Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und nach Umgebungstemperatur nimmt $a$ unterschiedliche Werte an.

(1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeweils welcher Graph zuzuordnen ist:

Graph I: $a =$

Graph II: $a =$

Graph III: $a =$

(2)

Der Graph von $f_a$ hat für alle $a > 0$ das Maximum im Intervall $[0; 20]$ an der Stelle $t \approx 15{,}92$.

Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\ \mathrm{^\circ C}$ nicht.

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a > 0$ diese Bedingung durch die Funktion $f_a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ erfüllt wird.

$a \leq$