Abitur NRW Mathematik 2022 · LK · Haupttermin · GTR

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \text{ mit } k \in \mathbb{R}.$$

(1)

Begründen Sie, weshalb der Graph von $f_2$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse verläuft.

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $f_k$ mit $$f_k(x) = x^4 + (2-k)\cdot x^3 - k\cdot x^2 \text{ mit } k \in \mathbb{R}.$$

(2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ hat $f_k$ an der Stelle $x = 1$ eine Wendestelle. Berechnen Sie diesen Wert von $k$.

$k =$

Für eine Funktionenschar $f_k$ gilt die Gleichung

$$f_k(x) = \frac{1}{k} \cdot x \cdot e^{-k^2 \cdot x}, \quad x \in \mathbb{R},\ k \in \mathbb{R},\ k \neq 0.$$

(1)

Zeigen Sie durch Rechnung: $f'_k(x) = \left(-k \cdot x + \frac{1}{k}\right) \cdot e^{-k^2 \cdot x}$. [2 Punkte]

Für die weiteren Teilaufgaben dürfen Sie benutzen: $f''_k\left(\frac{1}{k^2}\right) = -k \cdot e^{-1}$.

(2)

Zeigen Sie, dass $\frac{1}{k^2}$ bei jeder Funktion der Schar eine Extremstelle ist, und untersuchen Sie, für welche Werte von $k$ die Funktionen der Schar an der Stelle $\frac{1}{k^2}$ ein Minimum aufweisen. [3 Punkte]

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen$$f(x)=(x-3)\cdot e^x,\quad x\in\mathbb{R},$$$$h(x)=x-3,\quad x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die beiden Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind $x=0$ und $x=3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$. Die Funktion $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist eine Stammfunktion von $d$ mit $d(x)=h(x)-f(x)$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $h$ und $f$ miteinander einschließen.

Gegeben sind die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$; dabei ist $F$ eine Stammfunktion von $f$. In der Abbildung ist der Graph $G_F$ von $F$ dargestellt.

(1)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_1^7 f(x)\,\mathrm{d}x$ anhand der gegebenen Angaben.

(2)

Bestimmen Sie anhand des Graphen näherungsweise den Wert der Funktion $f$ an der Stelle $1$.

e) Gegeben sind die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, r \in \mathbb{R}$ und die Ebene $E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, s, t \in \mathbb{R}$.

(1)

Weisen Sie nach, dass die Gerade $g$ auf der Ebene $E$ senkrecht steht.

(2)

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $D$, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet.

f) Betrachtet werden die Punkte $A(-5|5|-3)$ und $B(-1|1|-1)$.

1.

Geben Sie an, welche Koordinaten der Mittelpunkt der Strecke $\overline{AB}$ besitzt.

2.

Bestimmen Sie eine Gleichung der Mittelsenkrechten von $\overline{AB}$, welche parallel zur $x_1x_3$-Ebene liegt.

e) Pia hat eine Dartscheibe geschenkt erhalten und trifft diese durchschnittlich in etwa $80\,\%$ der Würfe. Die Zufallsgröße $X$: „Anzahl der Treffer beim Pfeilwurf auf die Dartscheibe“ soll im Weiteren als binomialverteilt mit $p = 0{,}8$ gelten.

Pia wirft insgesamt 100-mal auf die Dartscheibe.

(1)

Berechnen Sie für $X$ sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung.

(2)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass Pia die Dartscheibe genau 80-mal trifft und dabei in den ersten zehn Würfen zehnmal trifft.

(3)

Geben Sie einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass sie die Dartscheibe mindestens einmal trifft, und begründen Sie mithilfe dieses Terms, dass die Wahrscheinlichkeit nahezu $100\,\%$ beträgt.

f) In Abbildung 2 ist der Graph der Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsgröße $A$ dargestellt.

(1)

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $68\,\%$ liegt der Wert von $A$ im Intervall $[6; 10]$.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass $A$ einen Wert über 10 annimmt.

%

(2)

Die Zufallsgröße $B$ ist ebenfalls normalverteilt; der Erwartungswert von $B$ ist ebenso groß wie der Erwartungswert von $A$, die Standardabweichung von $B$ ist größer als die Standardabweichung von $A$.

Skizzieren Sie in Abbildung 2 einen denkbaren Verlauf des Graphen der Dichtefunktion von $B$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die Gleichung $f(x) = 9 \cdot (x - 3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x - 3)}$, $x \in \mathbb{R}$, festgelegt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Es sei $z$ eine Zahl mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ und $R(z \mid f(z))$ ein Punkt. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ betrachtet man den Graphen von $f$, für $x \ge z$ den Graphen von $t$. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 3{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche den Inhalt $4$ Flächeneinheiten hat:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung

$$g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x - 3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x - 3)}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Es gilt $g_{1{,}5} = f$.

a) (1)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Schnittpunkt $N$ mit der $x$-Achse sowie genau einen Hochpunkt $H$.

Geben Sie an, welche Koordinaten $N$ hat.

Ermitteln Sie, welche Koordinaten der Punkt $H$ hat.

a) (4)

Für jedes $3 < u \le 9$ sind $N(3|0)$, $P(9|0)$ und $Q_u(u|f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

(i) Begründen Sie, dass sich der Inhalt der Dreiecksfläche $NPQ_u$ abhängig von $u$ mithilfe der Gleichung $A_{NPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ berechnen lässt.

(ii) Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $NPQ_u$ am größten ist.

(iii) Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, bei denen das Dreieck $NPQ_u$ 4 Flächeneinheiten groß ist.

b) (1) (i)

Begründen Sie, weshalb die Bedingungen I und II gewählt wurden.

b) (2)

Die Bedingungen liefern $z \approx 3{,}9428$.

(i) Es gilt: $f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot (27\cdot x - 99) \cdot e^{-1{,}5(x-3)}$.

Bestimmen Sie für $z = 3{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph im Punkt $R(z|f(z))$ den Graphen von $f$ tangiert.

(ii) Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion $t$.

c) (1)

Begründen Sie, dass jeder Graph der Schar $g_k$ die $x$-Achse nur in einem Punkt schneidet.

c) (2)

Ohne Beweis darf benutzt werden: $g_k''\left(3+\frac{1}{k}\right) = -4 \cdot k^3 \cdot e^{-1}$.

Bestimmen Sie rechnerisch, abhängig von $k$, die Extremstelle des Graphen von $g_k$ und die Art des zugehörigen Extremums.

[Zur Kontrolle: Die Extremstelle lautet $x = 3 + \frac{1}{k}$.]

c) (4)

Die Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$ haben außer $N(3|0)$ nur noch einen weiteren gemeinsamen Punkt $S$.

(i) Geben Sie die Koordinaten des Hochpunktes von $g_{2{,}6}$ an und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes $S$ der Graphen von $g_{1{,}5}$ und $g_{2{,}6}$.

(ii) Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g_{2{,}6}$ in Abbildung 3.

c) (5)

Für ein $a > 0$ ist der Graph der Funktion $g_a$ in Abbildung 3 dargestellt.

Begründen Sie mithilfe des Hochpunktes $H_a$ und ohne zusätzliche Rechnung, ob $a$ größer oder kleiner als 1,5 ist.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die Gleichung $f(x) = 9 \cdot (x - 3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x - 3)}$, $x \in \mathbb{R}$, festgelegt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Es sei $z$ eine Zahl mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ und $R(z \mid f(z))$ ein Punkt. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ betrachtet man den Graphen von $f$, für $x \ge z$ den Graphen von $t$. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 3{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche den Inhalt $4$ Flächeneinheiten hat:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung

$$g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x - 3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x - 3)}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Es gilt $g_{1{,}5} = f$.

a) (2)

Eine Fläche wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 7$ begrenzt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt.

a) (3)

Geben Sie für $w \to \infty$ den Wert von $\displaystyle\int_3^w f(x)\,\mathrm{d}x$ sowie dessen geometrische Deutung an.

b) (1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III darstellt: $\displaystyle\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$; dabei ist $c$ die Nullstelle von $t$.

c) (3)

Die Funktion $G_k$ mit $G_k(x) = -4 \cdot k \cdot \left(x - 3 + \dfrac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)}$ ist eine Stammfunktion von $g_k$.

Für $x \ge 3$ wird zwischen der $x$-Achse und dem Graphen von $g_k$ die nach rechts unbegrenzte Fläche $A$ eingeschlossen.

Prüfen Sie rechnerisch, ob der Flächeninhalt von $A$ von $k$ abhängig ist.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Skatepark wird um einen neuen Teilabschnitt erweitert. Den Längsschnitt dieses Abschnitts zeigt der Entwurf des Architekten in Abbildung 1.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, deren Seitenwände senkrecht stehen. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander übergehen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt dies nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R} \. Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a) (1)

Begründen Sie, dass $f(x) = f(-x)$ für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt, und interpretieren Sie dies geometrisch.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Skatepark wird um einen neuen Teilabschnitt erweitert. Den Längsschnitt dieses Abschnitts zeigt der Entwurf des Architekten in Abbildung 1.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, deren Seitenwände senkrecht stehen. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander übergehen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt dies nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R} \. Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Teilaufgabe a)

(2)

Ermitteln Sie durch Rechnung, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 ist.

(3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

(4)

Aus Sicherheitsgründen darf die Steigung an der steilsten Stelle der Bahn betragsmäßig höchstens 0,85 betragen. Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

Teilaufgabe e)

Der Abschnitt E3 wird letztlich mit der Länge $d = 7{,}5\text{ [m]}$ errichtet. Um die Skater auf E3 zu filmen, wird eine Kamera $5\text{ m}$ oberhalb der unteren Randlinie von E3 angebracht. Vereinfacht wird ihre Position durch den Punkt $K(x_K \mid 5)$ beschrieben.

(1)

Ermitteln Sie den Wert von $x_K$, bei dem $K$ von den Punkten $B$ und $C$ denselben Abstand hat.

(2)

Bestimmen Sie den kleinsten Abstand zwischen dem Punkt $K(8{,}49 \mid 5)$ und dem Graphen von $g$.

Teilaufgabe f)

In einem anderen Skatepark soll der Abschnitt E2 ähnlich gebaut werden, jedoch mit steilerem Verlauf. Dafür wird hier eine Funktion $h_u$ verwendet mit $$h_u(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

(1)

Zeigen Sie, dass $h_u'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und begründen Sie, dass für jedes $u > 0$ die Lage und Art der Extremstellen von $h_u'$ mit der Lage und Art der Extremstellen von $f'$ übereinstimmen.

(2)

Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ aufweist.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Skatepark wird um einen neuen Teilabschnitt erweitert. Den Längsschnitt dieses Abschnitts zeigt der Entwurf des Architekten in Abbildung 1.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, deren Seitenwände senkrecht stehen. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander übergehen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt dies nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R} \. Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

c) Für die obere Randlinie von Element E3 soll eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades als Modell dienen. Ihr Graph soll im Punkt $B$ im Funktionswert und in der Steigung mit dem Graphen von $f$ übereinstimmen (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt der oberen Randlinie von E3 soll dabei horizontal $3{,}6\text{ m}$ vom Punkt $B$ entfernt liegen.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $g$.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Ein Skatepark wird um einen neuen Teilabschnitt erweitert. Den Längsschnitt dieses Abschnitts zeigt der Entwurf des Architekten in Abbildung 1.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, deren Seitenwände senkrecht stehen. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 liegen im Modell auf der $x$-Achse.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die gezeigten oberen Randlinien der Elemente „knickfrei“ ineinander übergehen; nur beim Übergang von E3 zu E4 gilt dies nicht.

Für die obere Randlinie von Element E2 nutzt das Architekturbüro im Bereich $-4 \le x \le 4{,}8$ die Funktion $f$ mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \, \quad x \in \mathbb{R} \. Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Er kostet $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Berechnen Sie, wie hoch die Materialkosten für das Element E2 sind.

Legen Sie im Folgenden für die Modellierung von E3 die Gleichung $$g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$$ zugrunde.

d) (1)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten in Höhe von $10\,800\text{ €}$ eingeplant.

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Länge $d$ des Elements E3 berechnen lässt, bei der die Materialkosten $10\,800\text{ €}$ ergeben.

Die Gleichung liefert die Länge $d \approx 8{,}24\text{ [m]}$.

(ii) Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 fest eine Länge von $1{,}5\text{ m}$ hat.

d) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen. Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst, während E4 weiterhin $1{,}5\text{ m}$ lang bleibt.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 berechnen lässt, bei der die Materialkosten von E3 und E4 zusammen genau $12\,000\text{ €}$ ergeben. [Hinweis: Die Gleichung muss nicht gelöst werden.]

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie der Punkt $G(0|0|146)$ gegeben. Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

Für den Neubau eines Wolkenkratzers erstellt ein Architekturbüro eine Planung. Das Gebäude wird durch den Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert; dabei steht im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

In einer Ebene über dem Dach, die parallel zur Dachfläche $GEF$ liegt, ist eine Fläche mit Solarkollektoren vorgesehen (siehe Abbildung 2).

Teilaufgabe a

Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

(1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $B$ an.

Zu jedem $a \ge 0$ ist der Punkt $G_a(0 | 0 | a)$ gegeben.

(2)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_aEF$ für alle $a \ge 0$ bei $E$ einen rechten Winkel besitzt.

(3)

Bestimmen Sie den Wert $0 \le a \le 246$, für den das Dreieck $G_aEF$ einen Flächeninhalt von $780 \cdot \sqrt{41}\text{ FE}$ besitzt.

(4)

Für $a = 246$ gilt $G_a = D$. Das Dreieck $DEF$ hat den Flächeninhalt $2400\text{ FE}$.

Bestimmen Sie das Volumen des Prismas $ABCDEF$. [Zur Kontrolle: $V_{\text{Prisma}} = 590\,400\text{ VE}$.]

Teilaufgabe b

(1)

Aufgrund geltender Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um $100\text{ m}$ auf $146\text{ m}$ gekürzt.

Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes $ABCGEF$ durch diese Kürzung kleiner ist als das Volumen des Prismas $ABCDEF$.

%

Teilaufgabe c

(2)

Berechnen Sie den Winkel, den $E_{\text{Dach}}$ mit der Ebene $E_{\text{Wand}}$ einschließt, in welcher die Wandfläche $BCFE$ liegt.

°

(3)

Über dem Dach soll in einer zur Dachfläche $GEF$ parallelen Ebene eine Solarkollektorfläche angebracht werden (siehe Abbildung 2).

Diese Ebene liegt $2{,}5\text{ m}$ von der Dachfläche $GEF$ entfernt.

Bestimmen Sie rechnerisch die $x_3$-Koordinate $z$ des Befestigungspunktes $P(0|100|z)$.

In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ sowie der Punkt $G(0|0|146)$ gegeben. Der in Abbildung 1 dargestellte Körper $ABCDEF$ ist ein dreieckiges Prisma.

Für den Neubau eines Wolkenkratzers erstellt ein Architekturbüro eine Planung. Das Gebäude wird durch den Körper mit den Eckpunkten $ABCGEF$ modelliert; dabei steht im gewählten Koordinatensystem eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

In einer Ebene über dem Dach, die parallel zur Dachfläche $GEF$ liegt, ist eine Fläche mit Solarkollektoren vorgesehen (siehe Abbildung 2).

Teilaufgabe b

(2)

Stellen Sie sämtliche Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ in Parameterform dar.

(3)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen.

Auf dem letzten Flugabschnitt bewegt es sich entlang einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}$$ beschrieben wird.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Dachfläche $GEF$ mindestens einen Punkt mit der Geraden $g$ gemeinsam hat.

Teilaufgabe c

Eine Schar paralleler Ebenen wird durch $E_b: 3 \cdot x_1 + 4 \cdot x_2 - 4 \cdot x_3 = b$, $b \in \mathbb{R}$, beschrieben.

Die Dachfläche $GEF$ liegt in der Ebene $E_{\text{Dach}}$. Für einen bestimmten Wert von $b$ gilt $E_b = E_{\text{Dach}}$.

(1)

Bestimmen Sie den Wert von $b$, für den $E_b = E_{\text{Dach}}$ gilt. [Zur Kontrolle: $b = -584$.]

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube von hoher Güte erkennt man sowohl an der Qualität ihres Schraubenkörpers als auch an der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung.

Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. $97\,\%$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1{,}5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung.

(1)

Stellen Sie die geschilderte Situation im nachstehenden Baumdiagramm dar.

(2)

Bei einer zufällig entnommenen Schraube ist die Beschichtung fehlerhaft.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Schraube auch der Schraubenkörper fehlerhaft ist.

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube von hoher Güte erkennt man sowohl an der Qualität ihres Schraubenkörpers als auch an der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung.

Im Folgenden gilt eine Schraube als fehlerfrei, wenn sowohl der Schraubenkörper als auch die Beschichtung fehlerfrei sind. Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4{,}5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Für eine Untersuchung entnimmt man der Produktion zufällig $500$ Schrauben.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau $15$ der entnommenen Schrauben fehlerhaft sind.

%

b) (2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens $200$ davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ fehlerfrei sind.

Teilaufgabe c)

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

c) (1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl zu produzierender Schrauben, für die der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben mindestens $5000$ beträgt.

c) (2)

Produziert werden $5236$ Schrauben.

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fehlerfreien Schrauben dieser Produktion den Bedarf von „Wind 24“ decken.

%

Teilaufgabe e)

„Schraubenwind“ stellt noch einen zweiten Schraubentyp her. Die Schichtdicke (gemessen in $\mu\mathrm{m}$) einer zufällig ausgewählten Schraube dieses Typs lässt sich näherungsweise durch eine Normalverteilung mit $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ (beides in $\mu\mathrm{m}$) beschreiben.

e) (1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Schichtdicke (in $\mu\mathrm{m}$) einer zufällig gewählten Schraube zwischen $7{,}5$ und $8{,}5$ liegt.

%

e) (2)

Die Funktion $\Phi$ mit $\Phi(x) = \int_{-\infty}^x \varphi(t)\,\mathrm{d}t$ heißt Verteilungsfunktion der Normalverteilung mit der Dichtefunktion $\varphi$.

In Abbildung 1 ist die Dichtefunktion einer Normalverteilung abgebildet, in Abbildung 2 die Verteilungsfunktion einer anderen Normalverteilung.

Entscheiden Sie für jede der beiden Abbildungen begründet, ob die dargestellte Normalverteilung die Parameter $\mu = 8{,}2$ und $\sigma = 0{,}4$ haben kann.

Ja

Nein

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, gelten für sie besonders hohe Anforderungen. Eine Schraube von hoher Güte erkennt man sowohl an der Qualität ihres Schraubenkörpers als auch an der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung.

d) „Wind 24" reklamiert bei „Schraubenwind", die Qualität der gelieferten Schrauben sei deutlich gesunken: Ca. 8 % der Lieferung seien defekt. „Schraubenwind" will dem Vorwurf nachgehen und entnimmt der laufenden Produktion zufällig 200 Schrauben, die auf ihre Qualität geprüft werden. „Wind 24" ist der bedeutendste Abnehmer von „Schraubenwind". Deshalb möchte die Firmenleitung die Wahrscheinlichkeit begrenzen, die Beschwerde von „Wind 24" abzulehnen, obwohl die Fehlerquote der Schrauben tatsächlich 8 % beträgt. Dazu wird ein Hypothesentest auf einem Signifikanzniveau von 5 % durchgeführt.

(1)

Bestimmen Sie für den beschriebenen Hypothesentest eine Entscheidungsregel.

(2)

Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Firmenleitung die Beschwerde von „Wind 24" nicht zurückweist, wenn die Fehlerquote der Produktion weiterhin nur 4,5 % beträgt.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a)

(1) Weisen Sie nach, dass $f_1$ genau eine Nullstelle besitzt, und geben Sie zudem den Grenzwert von $f_1$ für $x \to \infty$ an.

(2) In Abbildung 1 ist der Graph von $f_1$ dargestellt, das zugehörige Koordinatensystem fehlt jedoch.

Zeichnen Sie die Koordinatenachsen samt passender Skalierung in die Abbildung ein.

b)

Der Graph von $f_0$ verläuft als Gerade.

Geben Sie sowohl die Steigung dieser Geraden als auch die Koordinaten ihres Schnittpunktes mit der $y$-Achse an.

e)

(1) Für alle reellen Zahlen $a$, $a_1$ und $a_2$ treffen die folgenden Aussagen zu:

I) $f_a(0) = 0$

II) $f_a'(0) = f_0'(0)$

III) $f_{a_1}(x) = f_{a_2}(x) \Leftrightarrow a_1 = a_2 \lor x = 0$

Geben Sie an, welche Folgerungen sich aus diesen Aussagen für den Verlauf der Graphen der Schar ziehen lassen.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

c)

Der Punkt $P(1|e)$ liegt für einen bestimmten Wert von $a$ auf dem Graphen von $f_a$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ sowie die Steigung der Tangente an den Graphen von $f_a$ in $P$.

e)

(2) Für jedes $a \neq 0$ sind die Wendestellen von $f_a$ genau die Lösungen der Gleichung $(a \cdot x^2 - 3) \cdot x = 0$.

Geben Sie für sämtliche Werte von $a \in \mathbb{R}$ an, wie viele Wendestellen $f_a$ besitzt, und begründen Sie Ihre Angabe.

(3) Sämtliche Extrempunkte der Graphen dieser Schar befinden sich auf einer Geraden.

Begründen Sie, dass diese Gerade die Gleichung $y = x$ hat.

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktionenschar $f_a$, die auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist und durch die folgende Gleichung beschrieben wird:

$$f_a(x) = x \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}} \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}.$$

Die Ableitung von $f_a$ lautet: $f_a'(x) = (1 - a \cdot x^2) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} a \cdot x^2 + \frac{1}{2}}$.

Alle Graphen von $f_a$ verlaufen punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Zu Beginn werden einige einzelne Funktionen der Schar untersucht.

Der Graph von $f_1$ besitzt den Hochpunkt $H_1(1|1)$.

a) (3)

Interpretieren Sie die nachstehende Aussage in geometrischer Hinsicht:

Für jede Stammfunktion $F_1$ von $f_1$ und für jede reelle Zahl $u > 2022$ gilt:

$$F_1(u) - F_1(0) \approx \int_{0}^{2022} f_1(x)\,\mathrm{d}x$$

d)

Begründen Sie mithilfe der Abbildung 2, dass $\int_{-0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0{,}5}^{1} f_{-1}(x)\,\mathrm{d}x$ gilt.