Aufgabe A3 b · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Die Funktion $g$ wird durch folgende Gleichung festgelegt:

g(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2-6x+5, \quad x \in \mathbb{R}\.

b) Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$In der Abbildung sind die Graphen von $f$ und $g$ dargestellt.

(1)

Geben Sie die beiden Stellen an, an denen sich die Graphen von $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot e^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $f$ und $g$ miteinander einschließen.