Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Den Längsschnitt dieses Abschnitts, wie ihn der Architekt entworfen hat, zeigt Abbildung 1.

¹ Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen, die senkrechte Seitenwände haben. E1 und E4, die äußeren Elemente, sind quaderförmig. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$ Eine Längeneinheit des Koordinatensystems steht in der Realität für $1\text{ m}$.

a)

(1) Begründen Sie, warum für alle $x \in \mathbb{R}$ die Beziehung $f(x) = f(-x)$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

(2) Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß im Bereich von E2 der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn ist.

(3) Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

(4) Aus Sicherheitsgründen darf die Steigung an der steilsten Stelle der Bahn betragsmäßig höchstens 0,85 betragen.

Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

d)

E3 wird durch die Gleichung $g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$ modelliert.

Ruckfrei heißt ein Übergang, wenn an der Übergangsstelle nicht nur die Funktionswerte und die ersten Ableitungen, sondern auch die zweiten Ableitungen gleich sind.

Prüfen Sie, ob der Übergang von E2 zu E3 ruckfrei ist.

f)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt E2 entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h$ verwendet mit

$$h(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R},\text{ mit } u > 0.$$

(1) Begründen Sie die Gleichung $h'(x) = u \cdot f'(x)$ und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h'$ aus dem Graphen von $f'$ ergibt.

(2) Ermitteln Sie denjenigen Wert von $u$, für den diese Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ besitzt.