Aufgabe B2 - Steckbriefaufgabe · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Thema: Funktionsterme bestimmen (Steckbriefaufgaben) · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · CAS (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion ff mit f(x)=18x4−34x2f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2 (x∈Rx \in \mathbb{R}). In Abbildung 1 ist der Graph von ff zu sehen:

a)

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion ff vierten Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur yy-Achse ist und den Koordinatenursprung enthält. Der Graph von ff besitzt im Punkt W2(1|−58)W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right) einen Wendepunkt.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von ff bestimmen.

Ermitteln Sie mithilfe der Angaben eine Gleichung der Funktion ff.

[Zur Kontrolle: f(x)=18⋅x4−34⋅x2,  x∈Rf(x) = \frac{1}{8}\cdot x^4 - \frac{3}{4}\cdot x^2,\; x \in \mathbb{R}.]

(5 Punkte)

Aufgabenstellung: Aufgabe B2 - Steckbriefaufgabe · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Rechnerischer Ansatz und Ermittlung der Koeffizienten

Lösung: Ansatz: f(x)=a⋅x4+b⋅x2+cf(x)=a\cdot x^4+b\cdot x^2+c, f′′(x)=12⋅a⋅x2+2⋅bf''(x)=12\cdot a\cdot x^2+2\cdot b f(0)=0⇔c=0f(0)=0 \Leftrightarrow c=0 f(1)=−58⇔a+b=−58f(1)=-\frac{5}{8} \Leftrightarrow a+b=-\frac{5}{8} f′′(1)=0⇔12a+2b=0f''(1)=0 \Leftrightarrow 12a+2b=0 Daraus folgt: a=18a=\frac{1}{8}, b=−34b=-\frac{3}{4}, c=0c=0

Ermitteln Sie mithilfe der Angaben eine Gleichung der Funktion ff.

Lösung: f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^4 - \frac{3}{4}\cdot x^2

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