Aufgabe B5 - Teilaufgabe d(2) · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für weitere Dromedare lässt sich der Verlauf der Körpertemperatur für $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise mit Funktionen $f_a$ modellieren, wobei gilt:$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\text{ }^\circ\text{C}$ nicht und sinkt auch nicht unter $34\text{ }^\circ\text{C}$.

(i)

Begründen Sie, ohne weitere Rechnung, dass $f_a$ und die Funktion $k$ übereinstimmende Extremstellen besitzen, nämlich $t_1 \approx 4{,}08$ und $t_2 \approx 15{,}92$.

(ii)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ die Funktionswerte $f_a(t)$ weder größer als $42$ noch kleiner als $34$ sind.

Hinweis: Die Randwerte müssen hier nicht untersucht werden.