Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

Teilaufgabe c)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit konstant 45 m/s. Im Moment des Dragster-Starts befindet es sich genau auf gleicher Höhe wie der Dragster. Seine gleichbleibende Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ beschrieben; dabei steht $g(t)$ für die Geschwindigkeit und $t$ für die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) und bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts der Graphen von $f$ und $g$ für $0 \le t \le t_{\max}$.

( |)

(2)

Für $a = 1$ beträgt das Integral $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t$ ungefähr 29,3.

Erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang und ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $a$ im Intervall $[0; 6]$ das Integral aus c)(2) maximal wird, und geben Sie dieses Maximum an.

(4)

Genau ein Wert $a$ mit $0 < a < 6$ erfüllt $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t = 0$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ und erläutern Sie, was er im Sachzusammenhang bedeutet.

Teilaufgabe d)

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Hat der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, behält er diese noch zwei weitere Sekunden bei. In dieser Zeitspanne passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit grafisch dar.

Bestimmen Sie die Zeit nach dem Start, nach der der Dragster die Ziellinie überquert.

[Zur Kontrolle: Die Ziellinie wird etwa 6,9 Sekunden nach dem Start überquert.]

Der Fahrer leitet acht Sekunden nach dem Start das Bremsen ein. Ab dann beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach 20 Sekunden steht der Dragster still.

(2)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch dar.

Bestimmen Sie rechnerisch eine Funktionsgleichung für $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ der Länge $805\text{ Metern}$ an.

Zeigen Sie, dass der Dragster noch innerhalb dieser Zone anhält.