Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Gegeben ist die Funktion $g$ mit der Gleichung

$$g(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 6x + 5, \quad x \in \mathbb{R}.$$

(1)

Geben Sie eine Gleichung für die erste Ableitungsfunktion von $g$ an.

(2)

Berechnen Sie die Extremstellen von $g$ und bestimmen Sie deren Art. (1 + 4 Punkte)

$x_1 =$ Art der Extremstelle an dieser Stelle:

$x_2 =$ Art der Extremstelle an dieser Stelle:

b) Gegeben sind die Funktionen $f$ und $g$ mit den Gleichungen

$$f(x)=(x-3)\cdot e^x, \quad x \in \mathbb{R},$$

$$g(x)=x-3, \quad x \in \mathbb{R}.$$

Die Abbildung zeigt die Graphen der Funktionen $f$ und $g$.

(1)

Geben Sie die beiden Stellen an, an denen sich die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ schneiden.

(2)

Zeigen Sie, dass $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ eine Stammfunktion der Funktion $d$ mit $d(x)=g(x)-f(x)=(x-3)-(x-3)\cdot e^x$ ist.

(3)

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ miteinander einschließen.

c) Die Funktion $f$ mit $f(x)=x^2$ ist in $\mathbb{R}$ definiert.

Bestimmen Sie die reelle Zahl $m$ mit $m < 0$, für die der Graph von $f$ und die Gerade $y=m\cdot x$ zusammen eine Fläche vom Inhalt 36 begrenzen.

d) Betrachtet werden die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$, $r \in \mathbb{R}$ und die Ebene

$$E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad s, t \in \mathbb{R}.$$

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes $D$, in dem die Gerade $g$ die Ebene $E$ schneidet. [5 Punkte]

$D($ $|$ $|$ $)$

e) Betrachtet werden die Punkte $A(0|0|0)$, $B(8|6|0)$ und $C(4|3|z)$ mit einer positiven reellen Zahl $z$.

(1)

Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ gleichschenklig ist und $\overline{AB}$ die Basis bildet. [2 Punkte]

(2)

Der Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$ beträgt $35$.

Bestimmen Sie $z$. [3 Punkte]

$z =$

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Teilaufgabe a)

a)(1)

Begründen Sie, weshalb die Funktion $f$ lediglich eine einzige Nullstelle hat. [2 Punkte]

a)(2)

Untersuchen Sie den Graphen von $f$ mithilfe einer Rechnung auf lokale Extrempunkte. [5 Punkte]

$x =$

$y =$

a)(3)

Der Graph von $f$ besitzt genau einen Wendepunkt. Ermitteln Sie dessen Koordinaten. [2 Punkte]

$x =$

$y =$

a)(4)

Ermitteln Sie die Stellen im Intervall $[0; 6]$, an denen der Graph von $f$ jeweils seine größte und seine kleinste Steigung besitzt. [3 Punkte]

$x =$

$x =$

Teilaufgabe b)(2)

Für jedes $0 < u \le 6$ sind $O(0 \mid 0)$, $P(6 \mid 0)$ und $Q_u(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks.

b)(2)(i)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $OPQ_u$ für $u = 2$ ein. [1 Punkt]

b)(2)(ii)

Begründen Sie, dass man den Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ in Abhängigkeit von $u$ mit der Gleichung $A_{OPQ_u}(u) = 3 \cdot f(u)$ berechnen kann. [2 Punkte]

b)(2)(iii)

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $u$ der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ am größten ist. [2 Punkte]

$u =$

b)(2)(iv)

Bestimmen Sie sämtliche Werte von $u$, für die der Flächeninhalt des Dreiecks $OPQ_u$ $4$ Flächeneinheiten beträgt. [2 Punkte]

$u_1 \approx$

$u_2 \approx$

Teilaufgabe c)

Für ein $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ betrachtet. Für $x \ge z$ wird der Graph von $t$ betrachtet. Abbildung 2 veranschaulicht diese Situation für das Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen der Funktionen $f$ und $t$ schließen mit der $x$-Achse die schraffiert dargestellte Fläche ein. Der Wert von $z$ kann mithilfe der folgenden Bedingungen so bestimmt werden, dass diese Fläche einen Flächeninhalt von $4$ Flächeneinheiten hat:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

c)(1)(i)

Begründen Sie, warum die Bedingungen I und II gewählt werden. [2 Punkte]

c)(2)

Aus den Bedingungen folgt $z \approx 0{,}9428$. [Nachweis nicht erforderlich.]

(i)

Bestimmen Sie für $z = 0{,}9428$ rechnerisch eine Gleichung der Funktion $t$, deren Graph im Punkt $R(z \mid f(z))$ den Graphen von $f$ tangiert. [3 Punkte]

(ii)

Ermitteln Sie die Nullstelle dieser Funktion $t$. [1 Punkt]

$c \approx$

Teilaufgabe d)

Für $k > 0$ ist die Funktion $j$ mit der Gleichung $j(x) = 4 \cdot k^2 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot x}$ für $x \in \mathbb{R}$ gegeben.

Setzt man $k = 1{,}5$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm von $f$.

Setzt man $k = 2{,}6$ in den Funktionsterm von $j$ ein, so erhält man den Funktionsterm der Funktion $g$ mit $g(x) = 4 \cdot 2{,}6^2 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-2{,}6 \cdot x}$.

d)(1)(i)

Die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ haben nur den Koordinatenursprung und einen weiteren Punkt $S$ gemeinsam. Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $g$ sowie des Schnittpunkts $S$ der Graphen von $f$ und $g$. [2 Punkte]

$x \approx$

$y \approx$

$x =$

$y =$

d)(1)(ii)

Skizzieren Sie unter Verwendung dieser Punkte den Graphen von $g$ in Abbildung 3. [3 Punkte]

d)(2)

Für einen bestimmten Wert von $k$ liefert der Funktionsterm von $j$ den Term der Funktion $h$, deren Graph in Abbildung 3 abgebildet ist. Geben Sie ohne zusätzliche Rechnung einen Schätzwert für dieses $k$ an. [1 Punkt]

$k \approx$

Aufgabenstellung:

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = 9 \cdot x \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5x}$, $x \in \mathbb{R}$.

Der Graph der Funktion $f$ ist in Abbildung 1 dargestellt.

Teilaufgabe b)

Die Fläche $A$ wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 6$ begrenzt.

(1)

$A \approx$

[FE]

Teilaufgabe c)

Zu einem $z$ mit $\frac{2}{3} < z < \frac{4}{3}$ ist der Punkt $R(z \mid f(z))$ gegeben. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ wird der Graph von $f$ herangezogen. Für $x \geq z$ wird der Graph von $t$ herangezogen. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 0{,}9$.

Die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ umschließen gemeinsam mit der $x$-Achse die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so festlegen, dass diese Fläche den Inhalt von 4 Flächeneinheiten besitzt:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_0^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

(1) (ii)

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 modelliert das Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mit der Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a) (1)

Begründen Sie, weshalb die Gleichung $f(x)=f(-x)$ für jedes $x\in\mathbb{R}$ erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 modelliert das Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mit der Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

a)

(2) Ermitteln Sie durch Rechnung, wie groß der Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn im Abschnitt E2 ist.

(3) Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

(4) Aus Sicherheitsgründen darf der Betrag der Steigung an der steilsten Stelle der Bahn höchstens 0,85 betragen. Zeigen Sie, dass Element E2 diese Vorgabe erfüllt.

d)

Ein Übergang gilt als ruckfrei, wenn an der Übergangsstelle nicht nur die Funktionswerte und die ersten Ableitungen, sondern auch die zweiten Ableitungen gleich sind.

Prüfen Sie, ob der Übergang von E2 zu E3 ruckfrei ist.

Ja

Nein

f)

In einem weiteren Skatepark soll ein ähnlicher Abschnitt wie E2 entstehen, dessen Streckenverlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion $h$ verwendet mit

$$h(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.$$

(1) Begründen Sie, dass $h'(x) = u \cdot f'(x)$ gilt, und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von $h'$ aus dem Graphen von $f'$ ergibt.

(2) Ermitteln Sie den Wert von $u$, für den die Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle $x = 4{,}8$ die Steigung $m = -0{,}85$ besitzt.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 modelliert das Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mit der Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die obere Randlinie von Element E3 soll eine ganzrationale Funktion $g$ zweiten Grades als Modell dienen. Ihr Graph soll im Punkt $B$ im Funktionswert und in der Steigung mit dem Graphen von $f$ übereinstimmen (siehe Abbildung 2). Der tiefste Punkt dieser Randlinie von E3 liegt dabei horizontal $3{,}6\text{ m}$ vom Punkt $B$ entfernt.

c)

Ermitteln Sie eine Funktionsgleichung für $g$. [5 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den beiden mittleren Elementen E2 und E3 werden die in Abbildung 1 gezeigten oberen Randlinien durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die in Abbildung 1 gezeigten unteren Randlinien aller vier Elemente werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die dargestellten oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 modelliert das Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ mit der Funktion $f$ mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für $1\text{ m}$ in der Wirklichkeit.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders tragfähiger Spezialbeton verwendet. Dessen Materialkosten liegen bei $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Breite der Skatebahn beträgt an jeder Stelle $5\text{ m}$.

b)

Ermitteln Sie, welche Materialkosten das Element E2 verursacht. [3 Punkte]

€

Teilaufgabe e)

Modellieren Sie E3 mit der Funktion $g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$.

e) (1)

In einem ersten Entwurf sind für E3 zunächst Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen.

(i) Stellen Sie eine Gleichung auf, mit deren Hilfe sich die Länge $d$ des Elements E3 so bestimmen lässt, dass sich Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ ergeben. [2 Punkte]

Die Gleichung liefert als Lösung eine Länge von $d \approx 8{,}24\text{ [m]}$.

(ii) Bestimmen Sie die Höhe von E4, die daraus folgt. [1 Punkt]

(iii) Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 eine feste Länge von $1{,}5\text{ m}$ hat. [1 Punkt]

[Kontrolllösung: Die Materialkosten für E4 liegen bei etwa $3\,500\text{ €}$.]

€

e) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

(i) Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten. [2 Punkte]

%

(ii) Deshalb wird in einem neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst. E4 soll weiterhin eine Länge von $1{,}5\text{ m}$ haben.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 so ermitteln lässt, dass E3 und E4 zusammen Materialkosten von genau $12\,000\text{ €}$ verursachen.

[Hinweis: Die Gleichung braucht nicht gelöst zu werden.] [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes B an.

a) (2)

Gegeben ist für $a \geq 0$ der Punkt $G_a(0|0|a)$. Zeigen Sie, dass das Dreieck $G_aEF$ für jedes $a \geq 0$ bei E einen rechten Winkel hat.

a) (3)

Der Punkt $G_a$ soll die Strecke $\overline{AD}$ im Verhältnis 2:1 teilen. Geben Sie einen Wert $a \geq 0$ an, für den $G_a$ diese Forderung erfüllt.

a) (4)

Für $a = 246$ ist $G_a = D$. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks DEF sowie das Volumen des Prismas ABCDEF. [Zur Kontrolle: $V_{Prisma} = 590400$ VE.]

Ein Architekturbüro entwirft einen Wolkenkratzer, der als Körper mit den Eckpunkten ABCGEF modelliert wird. Im verwendeten Koordinatensystem steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

b) (1)

Aufgrund von Bauvorschriften wurde die Kante $\overline{AG}$ gegenüber der Kante $\overline{AD}$ um 100 m auf 146 m verkürzt. Dadurch wird vom Prisma ABCDEF eine Pyramide mit der Grundfläche DEF entfernt. Berechnen Sie, um wie viel Prozent das Volumen des Gebäudes ABCGEF kleiner ist als das Volumen des Prismas ABCDEF.

b) (2)

Berechnen Sie den Winkel zwischen den Kanten $\overline{FC}$ und $\overline{FG}$.

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass $E_{\text{Dach}}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}$, $s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$, die Ebene, welche die Dachfläche $GEF$ enthält, durch eine Parametergleichung beschreibt.

Die Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ lassen sich so darstellen:

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \ge 0,\, t \ge 0,\, s+t \le 1.$$

c) (2)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Der letzte Flugabschnitt verläuft auf einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$

beschrieben wird.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Gerade $g$ durch einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $GEF$ verläuft.

$s =$

$t =$

$k =$

c) (3)

Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt $Q(16 \mid 38 \mid 196)$ die Dachfläche, nachdem es $45\text{ m}$ auf einer Strecke in Richtung $\vec{v} = \begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}$ geflogen ist.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes, an dem diese geradlinige Flugstrecke begonnen hat.

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie hohen Anforderungen genügen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl ihr Schraubenkörper als auch die darauf aufgebrachte Beschichtung eine gute Qualität aufweisen. Im Weiteren wird eine Schraube als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

Bei der Produktion entstehen immer wieder Schrauben, die nicht den Qualitätsansprüchen von „Schraubenwind“ genügen. $97\,\%$ der Schrauben weisen einen fehlerfreien Schraubenkörper auf. Von den Schrauben mit fehlerfreiem Schraubenkörper haben $1{,}5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung. Von den Schrauben mit fehlerhaftem Schraubenkörper haben $5\,\%$ eine fehlerhafte Beschichtung.

a) (1)

Stellen Sie die geschilderte Situation im nachstehenden Baumdiagramm dar.

a) (2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

a) (3)

Eine zufällig entnommene Schraube hat eine fehlerhafte Beschichtung. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei dieser Schraube auch der Schraubenkörper fehlerhaft ist.

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie hohen Anforderungen genügen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl ihr Schraubenkörper als auch die darauf aufgebrachte Beschichtung eine gute Qualität aufweisen. Im Weiteren wird eine Schraube als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4{,}5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

b) (1)

Für eine Untersuchung werden der Produktion zufällig 500 Schrauben entnommen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens 20 dieser Schrauben fehlerhaft sind.

b) (2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens 200 davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ fehlerfrei sind.

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt 5000 fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

c) (1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die produziert werden muss, damit der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben mindestens 5000 beträgt.

c) (2)

In der Produktion entstehen 5236 Schrauben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die fehlerfreien Schrauben den Bedarf von „Wind 24“ decken.

Aufgabenstellung:

Das Unternehmen „Schraubenwind“ produziert Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extrem stark beansprucht werden, müssen sie hohen Anforderungen genügen. Eine Schraube gilt als hochwertig, wenn sowohl ihr Schraubenkörper als auch die darauf aufgebrachte Beschichtung eine gute Qualität aufweisen. Im Weiteren wird eine Schraube als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

d) „Wind 24“ reklamiert bei „Schraubenwind“ einen deutlichen Qualitätsverlust der Lieferungen: Etwa $8\,\%$ der gelieferten Schrauben seien defekt. Weil „Wind 24“ der bedeutendste Kunde von „Schraubenwind“ ist, entnimmt man der laufenden Produktion zufällig $200$ Schrauben und prüft deren Qualität. Die Firmenleitung möchte die Reklamation von „Wind 24“ ablehnen, wenn höchstens neun der $200$ geprüften Schrauben defekt sind.

(1)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Reklamation von „Wind 24“ ablehnt, wenn der Produktionsprozess eine Fehlerquote von $8\,\%$ hat.

(2)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Firmenleitung die Reklamation von „Wind 24“ nicht ablehnt, wenn der Produktionsprozess weiterhin nur eine Fehlerquote von $4{,}5\,\%$ hat.

Aufgabenstellung:

Eine Firma bietet Fitnessarmbänder zum Verkauf an. Wie sich der Absatz momentan ändert, lässt sich modellhaft durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = 4000 \cdot x \cdot e^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

a)

(1) Bestimmen Sie rechnerisch, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate des Absatzes ihren höchsten Wert annimmt, und geben Sie diesen Wert an.

Monate

Stück pro Monat

(2) Zeichnen Sie den Graphen von $f$ für $0 \leq x \leq 18$.

Markieren Sie in Ihrer Zeichnung alle Punkte des Graphen, bei denen die momentane Änderungsrate des Absatzes 1000 Stück pro Monat beträgt.

(3) Innerhalb der ersten 18 Monate nach der Produkteinführung gibt es einen Zeitpunkt, an dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt, und einen, an dem sie am stärksten abnimmt. Um diese beiden Zeitpunkte zu ermitteln, wurde Folgendes berechnet:

$$f''(x) = 0 \iff x = 5$$

$$f'''(5) > 0$$

Erläutern Sie diese Berechnungen. Geben Sie die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründen Sie Ihre Angaben ohne zusätzliche Rechnung.

Monate

Monate

Aufgabenstellung:

Eine Firma bietet Fitnessarmbänder zum Verkauf an. Wie sich der Absatz momentan ändert, lässt sich modellhaft durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $$f(x) = 4000 \cdot x \cdot e^{-0{,}4x}$$ darstellen. Hierbei steht $x$ für die Zeit in Monaten, die seit der Markteinführung des Produkts verstrichen ist, und $f(x)$ für die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Zeitgleich mit dem Fitnessarmband bot das Unternehmen auch eine Smartwatch an. Im Modell wird die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat durch die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit

$$g(x) = 1600 \cdot x^2 \cdot e^{-0{,}4x}$$

beschreiben.

b) (1)

Vergleichen Sie fünf Monate nach der Markteinführung die momentanen Änderungsraten des Absatzes von Fitnessarmband und Smartwatch.

Vergleich der momentanen Änderungsraten bei $x = 5$:

b) (2)

Ermitteln Sie, wie viele Smartwatches im ersten Jahr nach der Markteinführung insgesamt verkauft wurden.

b) (3)

Untersuchen Sie im Modell, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem seit der Markteinführung gleich viele Fitnessarmbänder wie Smartwatches verkauft wurden.

Geben Sie diesen Zeitpunkt an, falls er existiert.