Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen: Gleichungen und… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2022

Aufgabenstellung:

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem die Punkte $A(0|0|0)$, $B$, $C(0|100|0)$, $D(0|0|246)$, $E(48|64|246)$ und $F(0|100|246)$ und zusätzlich der Punkt $G(0|0|146)$.

c) (1)

Zeigen Sie, dass $E_{\text{Dach}}: \vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}$, $s \in \mathbb{R}, t \in \mathbb{R}$, die Ebene, welche die Dachfläche $GEF$ enthält, durch eine Parametergleichung beschreibt.

Die Punkte der dreieckigen Dachfläche $GEF$ lassen sich so darstellen:

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 48 \\ 64 \\ 246 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ -64 \\ -100 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -48 \\ 36 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad s \ge 0,\, t \ge 0,\, s+t \le 1.$$

c) (2)

Ein Lufttaxi soll eine Verbindung zwischen dem Wolkenkratzer und einem weiteren Wolkenkratzer herstellen. Der letzte Flugabschnitt verläuft auf einer Strecke, die vereinfacht als Teil der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 10 \\ 200 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R},$$

beschrieben wird.

Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Gerade $g$ durch einen Punkt der dreieckigen Dachfläche $GEF$ verläuft.

$s =$

$t =$

$k =$

c) (3)

Ein weiteres Lufttaxi erreicht im Punkt $Q(16 \mid 38 \mid 196)$ die Dachfläche, nachdem es $45\text{ m}$ auf einer Strecke in Richtung $\vec{v} = \begin{pmatrix} 10 \\ 11 \\ -2 \end{pmatrix}$ geflogen ist.

Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes, an dem diese geradlinige Flugstrecke begonnen hat.