Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ ($x \in \mathbb{R}$). In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen:

b)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten der lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$.

[5 Punkte]

e)

Für jedes $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ sind die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks $PQ_uR_u$.

(1) Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ durch folgenden Term gegeben ist:

$$A(u) = -\frac{1}{16} \cdot u^5 + \frac{3}{8} \cdot u^3.$$

[2 Punkte]

(2) Ermitteln Sie den Wert von $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist.

[2 Punkte]