Aufgabe B4 - Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeit… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Das Unternehmen „Schraubenwind“ fertigt Schrauben und Muttern, die in Windkraftanlagen verbaut werden. Da diese Verbindungselemente extremen Belastungen ausgesetzt sind, müssen sie hohe Anforderungen erfüllen. Die Güte einer hochwertigen Schraube hängt von der Qualität des Schraubenkörpers sowie von der Qualität der darauf aufgebrachten Beschichtung ab. Im weiteren Verlauf wird eine Schraube nur dann als fehlerfrei bezeichnet, wenn Schraubenkörper und Beschichtung beide fehlerfrei sind.

Qualitätskontrollen bei der Firma „Schraubenwind“ zeigen, dass im Durchschnitt $4{,}5\,\%$ der Schrauben fehlerhaft die Produktion verlassen. Im Folgenden wird modellhaft davon ausgegangen, dass die Anzahl an fehlerhaften Schrauben in der Produktion binomialverteilt mit $p = 0{,}045$ ist.

Teilaufgabe b

(1)

Für eine Untersuchung entnimmt man der Produktion zufällig $500$ Schrauben. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens $20$ dieser Schrauben fehlerhaft sind.

(2)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl an Schrauben, die entnommen werden muss, damit mindestens $200$ davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ fehlerfrei sind.

„Wind 24“, ein Hersteller von Windkraftanlagen, benötigt $5000$ fehlerfreie Schrauben. „Wind 24“ gibt bei der Firma „Schraubenwind“ eine Bestellung auf.

Teilaufgabe c

(1)

Ermitteln Sie die kleinste Anzahl zu produzierender Schrauben, bei der der Erwartungswert der fehlerfreien Schrauben in dieser Produktion mindestens $5000$ beträgt.

(2)

In der Produktion entstehen $5236$ Schrauben. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl der fehlerfreien Schrauben den Bedarf von „Wind 24“ deckt.