Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Haupttermin · GTR (2022)

Aufgabenstellung

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist der Bau eines neuen Teilabschnitts geplant. Abbildung 1 zeigt den Entwurf des Architekten für den Längsschnitt dieses Abschnitts.

1 Symbolbild eines Skaters: A Person Sliding On A Skate Board Clip Art: http://www.clker.com/clipart-a-person-sliding-on-a-skate-board.html (Zugriff: 08.03.2021)

Der Abschnitt wird aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden gefertigt. E1 und E4, die äußeren Elemente, haben die Form eines Quaders. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen ff und gg beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente aus Abbildung 1 werden durch die xx-Achse beschrieben.

Damit ein störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 „knickfrei“ ineinander übergehen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für −4≤x≤4,8-4 \le x \le 4{,}8 durch die Funktion ff modelliert mit

f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2\,\quad x \in \mathbb{R}\.

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht dabei für 1 m1\text{ m} in der Wirklichkeit.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Begründen Sie, warum für alle x∈Rx \in \mathbb{R} die Gleichung f(x)=f(−x)f(x) = f(-x) erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

a) (2)

Ermitteln Sie rechnerisch, welchen Höhenunterschied der höchste und der tiefste Punkt der Skatebahn im Bereich von E2 aufweisen.

a) (3)

Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

a) (4)

Aus Sicherheitsgründen darf die Steigung an der steilsten Stelle der Bahn betragsmäßig höchstens 0,85 betragen.

Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

Teilaufgabe e)

In einem weiteren Skatepark soll ein zu E2 ähnlicher Abschnitt entstehen, dessen Verlauf jedoch steiler ist. Dafür wird eine Funktion hh verwendet mit

h(x)=u⋅(−1256x4+18x2)+1,2,x∈R, mit u>0.h(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2\right) + 1{,}2, \quad x \in \mathbb{R}, \text{ mit } u > 0.

e) (1)

Begründen Sie die Beziehung h′(x)=u⋅f′(x)h'(x) = u \cdot f'(x) und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von h′h' aus dem Graphen von f′f' ergibt.

e) (2)

Ermitteln Sie den Wert von uu, für den die Bahn im Abschnitt E2 an der Stelle x=4,8x = 4{,}8 die Steigung m=−0,85m = -0{,}85 besitzt.

Aufgabenstellung: Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) (1) Begründen Sie, warum für alle x in IR die Gleichung f(x) = f(-x) erfüllt ist, und interpretieren Sie diesen Zusammenhang geometrisch.

Lösung: Da ff eine ganzrationale Funktion mit ausschließlich geraden Exponenten ist, gilt f(x)=f(−x)f(x) = f(-x). Der Graph von ff ist achsensymmetrisch zur yy-Achse.

a) (2) Rechnung / Begründung für den Höhenunterschied

Lösung: f′(x)=−164x3+14xf'(x) = -\frac{1}{64}x^3 + \frac{1}{4}x f′(x)=0⇔x=−4∨x=0∨x=4f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -4 \lor x = 0 \lor x = 4 Wegen f(−4)=2,2=f(4)f(-4) = 2{,}2 = f(4), f(0)=1,2f(0) = 1{,}2 und f(4,8)=2,0064f(4{,}8) = 2{,}0064 liegt das globale Maximum bei 2,22{,}2 und das globale Minimum bei 1,21{,}2. 2,2 m−1,2 m=1 m2{,}2\ \text{m} - 1{,}2\ \text{m} = 1\ \text{m}

a) (2) Höhenunterschied zwischen dem höchsten und dem tiefsten Punkt der Skatebahn im Bereich von E2

Lösung: 1 m / 100 cm

a) (3) Zeigen Sie, dass die obere Randlinie des Elements E2 ohne Knick in die obere Randlinie des quaderförmigen Elements E1 übergeht.

Lösung: Es ist f′(−4)=0f'(-4) = 0 und f(−4)=2,2f(-4) = 2{,}2, d. h., an der Stelle x=−4x = -4 stimmen die oberen Randlinien von E1 und E2 in der Höhe und der Steigung überein.

a) (4) Zeigen Sie, dass E2 diese Vorgabe erfüllt.

Lösung: Der Taschenrechner liefert im Intervall [−4;4,8][-4; 4{,}8] (z. B. durch graphische Analyse) den absoluten Tiefpunkt (4,8∣−0,528)(4{,}8 \mid -0{,}528) des Graphen von f′f' und den absoluten Hochpunkt (2,31∣0,385)(2{,}31 \mid 0{,}385) des Graphen von f′f'. Somit liegt die steilste Stelle der Bahn bei x=4,8x = 4{,}8 vor. Mit 0,528<0,850{,}528 < 0{,}85 wird die Vorgabe eingehalten.

e) (1) Begründen Sie die Beziehung h'(x) = u * f'(x) und erläutern Sie, auf welche Weise sich der Graph von h' aus dem Graphen von f' ergibt.

Lösung: Es ist h′(x)=u⋅(−164x3+14x)=u⋅f′(x).h'(x) = u \cdot \left(-\frac{1}{64}x^3 + \frac{1}{4}x\right) = u \cdot f'(x). Der Graph von h′h' geht durch eine Streckung in yy-Richtung mit einem positiven Streckfaktor u>0u > 0 aus dem Graphen von f′f' hervor.

e) (2) Rechnung für u

Lösung: h′(4,8)=−0,85⇔u⋅f′(4,8)=−0,85⇔u⋅(−0,528)=−0,85⇔u≈1,610h'(4{,}8) = -0{,}85 \Leftrightarrow u \cdot f'(4{,}8) = -0{,}85 \Leftrightarrow u \cdot (-0{,}528) = -0{,}85 \Leftrightarrow u \approx 1{,}610

e) (2) Wert von u, für den die Bahn an der Stelle x = 4,8 die Steigung m = -0,85 besitzt

Lösung: 1,610 / 1,61

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