Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Der Graph von $f$ wird in der nebenstehenden Abbildung 1 gezeigt.

c)

Die Sekante, die die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verbindet, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1) Zeichnen Sie diese Sekante in Abbildung 1 ein.

Die Sekante und der Graph von $f$ schneiden sich außerdem bei $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$. [Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

(2) (i) Ermitteln Sie $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$ und $\int_{1}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$. [2 Punkte]

(ii) Geben Sie nun ohne zusätzliche Rechnung die Werte der Integrale an und begründen Sie Ihre Angaben: [3 Punkte]

d) (2)

Zwischen den Graphen der Funktionen $f$ und $t$ liegt eine Fläche, die sich aus zwei Teilflächen zusammensetzt. Eine Schülerin vermutet, dass die größere Teilfläche mehr als das Achtfache der kleineren Teilfläche beträgt. Prüfen Sie, ob diese Vermutung zutrifft. [5 Punkte]

f) (2)

Für jedes $a > 0$ schließen der Graph von $p_a$ ($p_a(x) = a\cdot x^2$) und der Graph der Funktion $f$ im Bereich $x \ge 0$ eine Fläche ein. Diese Fläche wird durch die x-Achse unterteilt. Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den die x-Achse die eingeschlossene Fläche halbiert. [5 Punkte]