Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Von dem Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu und beim Start auf eine tiefe Schlucht zu. Die Bebauung des Ortes reicht direkt an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$; eine Längeneinheit steht dabei für einen Meter in der Wirklichkeit.

Abbildung 2 zeigt die rechteckige Landebahn als Modell in einem kartesischen Koordinatensystem mit den Eckpunkten $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$. Dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Wirklichkeit.

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $C$ hat.

a) (2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn eine Länge $|\overline{AD}|$ von etwa $527\text{ m}$ hat.

a) (3)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

[Mögliche Lösung: $65\cdot x_1 + 523\cdot x_3 = 33995$]

a) (4)

Berechnen Sie sowohl den Winkel, um den die Landebahn gegenüber der Horizontalen ansteigt, als auch ihre Steigung in Prozent.

c) (1)

Damit Landungen sicher sind, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür fliegt eine Drohne in einer Ebene $K$, die zur Ebene $E$ den Abstand $12\text{ m}$ hat. Bestimmen Sie rechnerisch einen Punkt der Ebene $K$.

c) (2)

Während das Flugzeug ausrollt, verläuft die rechte Tragflächenspitze auf einer Strecke der Geraden $h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 355 \\ 18{,}5 \\ 24 \end{pmatrix} + s\cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, s \in \mathbb{R}$. Rechts neben der Landebahn steht ein großer Baum, dessen Astspitze bei $Q(300 \mid 28 \mid 31)$ liegt.

Bestimmen Sie rechnerisch, wie weit die Gerade $h$ vom Punkt $Q$ entfernt ist.