Aufgabe c · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $h$ mit den Gleichungen$$f(x)=(x-3)\cdot e^x,\quad x\in\mathbb{R},$$$$h(x)=x-3,\quad x\in\mathbb{R}.$$

(1)

Bestimmen Sie auf rechnerischem Weg die beiden Stellen, an denen sich die Graphen von $f$ und $h$ schneiden.

[Zur Kontrolle: Die Schnittstellen sind $x=0$ und $x=3$.]

(2)

Im Bereich zwischen den Schnittstellen liegt der Graph von $h$ über dem Graphen von $f$. Die Funktion $D(x)=(4-x)\cdot e^x + 0{,}5\cdot x^2 - 3\cdot x$ ist eine Stammfunktion von $d$ mit $d(x)=h(x)-f(x)$.

Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, die die Graphen von $h$ und $f$ miteinander einschließen.