Aufgabe 1 (MMS 2) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Thema: Differentialrechnung: Tangenten, Extrem- und Wendepunkte · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (CAS) (2022)

Aufgabenstellung

Ein Unternehmen verkauft Fitnessarmbänder. Die momentane Änderungsrate des Absatzes kann modellhaft mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion f:x↦4000x⋅e−0,4xf: x \mapsto 4000x \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x} beschrieben werden. Dabei ist xx die seit der Produkteinführung vergangene Zeit in Monaten und f(x)f(x) die momentane Änderungsrate des Absatzes in Stück pro Monat.

Gleichzeitig mit der Einführung des Fitnessarmbands brachte das Unternehmen eine Smartwatch auf den Markt. Die momentane Änderungsrate des Absatzes der Smartwatch in Stück pro Monat lässt sich im Modell mithilfe der in R\mathbb{R} definierten Funktion g:x↦1600⋅x2⋅e−0,4xg: x \mapsto 1600 \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0{,}4x} beschreiben.

a

Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht, und geben Sie diesen Wert an.

b

Zeichnen Sie den Graphen von ff für 0≤x≤180 \le x \le 18 und kennzeichnen Sie diejenigen Punkte des Graphen, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von 10001000 Stück pro Monat gehören.

c

Im Zeitraum, der mit der Produkteinführung beginnt und 18 Monate später endet, gibt es einen Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt, und einen Zeitpunkt, zu dem sie am stärksten abnimmt. Zur Bestimmung dieser beiden Zeitpunkte wurden folgende Berechnungen durchgeführt:

f′′(x)=0  ⟺  x=5f''(x) = 0 \iff x = 5

f′′′(5)>0f'''(5) > 0

Erläutern Sie diese Berechnungen. Geben Sie die beiden gesuchten Zeitpunkte an und begründen Sie Ihre Angabe ohne weitere Rechnung.

d

Vergleichen Sie die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 (MMS 2) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Berechnen Sie den Zeitpunkt, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes den größten Wert erreicht

Lösung: 2,52{,}5

und geben Sie diesen Wert an.

Lösung: 37003700 / 36793679

c Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten zunimmt

Lösung: 00

c Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die momentane Änderungsrate des Absatzes am stärksten abnimmt

Lösung: 55

c Erläutern Sie diese Berechnungen und begründen Sie Ihre Angabe ohne weitere Rechnung.

Lösung: Die Zunahme bzw. Abnahme der momentanen Änderungsrate des Absatzes werden durch f′f' beschrieben. Die möglichen Extremstellen von f′f' sind die Nullstellen von f′′f''. Da f′′(x)=0  ⟺  x=5f''(x) = 0 \iff x = 5 und f′′′(5)>0f'''(5) > 0, hat f′f' bei x=5x = 5 ein Minimum als einziges Extremum. Der Graph von ff zeigt, dass f′(0)>0f'(0) > 0 und f′(18)<0f'(18) < 0 gilt. Für 0≤x≤180 \le x \le 18 nimmt f′f' damit sein Maximum bei x=0x = 0 an. Die momentane Änderungsrate des Absatzes nimmt also zum Zeitpunkt der Produkteinführung am stärksten zu und fünf Monate danach am stärksten ab.

d Vergleichen Sie die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung (Begründung bzw. Werte).

Lösung: f(5)≈2707f(5) \approx 2707 und g(5)≈5413g(5) \approx 5413. Fünf Monate nach Produkteinführung ist die momentane Änderungsrate des Absatzes für die Smartwatch größer als die für das Armband.

b Zeichnen Sie den Graphen von f für 0 <= x <= 18 und kennzeichnen Sie diejenigen Punkte des Graphen, die zu einer momentanen Änderungsrate des Absatzes in Höhe von 1000 Stück pro Monat gehören.

Lösung: Der Graph startet im Ursprung (0∣0)(0|0), steigt zum Hochpunkt bei ca. (2,5∣3700)(2{,}5 | 3700) an und fällt danach ab. Die Punkte mit Funktionswert 10001000 liegen bei ca. x≈0,3x \approx 0{,}3 und x≈8,9x \approx 8{,}9 und sind auf dem Graphen markiert.

d Vergleichen Sie die momentanen Änderungsraten des Absatzes für das Fitnessarmband und die Smartwatch fünf Monate nach Produkteinführung.

Lösung: Smartwatch größer als Armband

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