Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder im Motorsport an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke in möglichst kurzer Zeit bewältigen. Üblicherweise beträgt die Streckenlänge eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehreren tausend PS bzw. kW reichen kann.

Die Geschwindigkeit eines solchen Dragsters während eines Rennens wird in der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der Dragster die Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

a)(4)

Mit $F(t)$ soll die Strecke modelliert werden, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zu einem Zeitpunkt $t$ zurücklegt. Dabei muss die Funktion $F$ die Bedingung $F'(t)=f(t)$ erfüllen.

(i) Begründen Sie, dass $F$ allein durch die Bedingung $F'(t)=f(t)$ noch nicht eindeutig bestimmt ist.

(ii) Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an, die $F$ neben $F'(t)=f(t)$ erfüllen muss, damit $F$ durch beide Bedingungen eindeutig festgelegt ist.

b)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Starts des Dragsters befindet es sich unmittelbar neben ihm. Diese konstante Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ modelliert; $g(t)$ ist die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in Abbildung 1 ein und ermitteln Sie, für welche Dauer innerhalb der ersten sechs Sekunden das Kamerafahrzeug schneller als der Dragster ist.

(2)

Geben Sie an, welche Strecke das Kamerafahrzeug in den ersten vier Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(3)

Nach diesen Modellierungen legen das Kamerafahrzeug und der Dragster in den ersten vier Sekunden nach dem Start ungefähr gleich lange Strecken zurück. Begründen Sie dies mithilfe von Abbildung 1.

(4)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_0^1 (g(t)-f(t))\,\mathrm{d}t$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

c)

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Hat der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, behält er diese noch zwei weitere Sekunden bei. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters in der Phase mit konstanter Geschwindigkeit in Abbildung 2 grafisch dar. Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert. [Zur Kontrolle: Etwa 6,9 Sekunden nach dem Start überquert der Dragster die Ziellinie.]

Der Fahrer leitet acht Sekunden nach dem Start das Bremsen ein. Ab diesem Zeitpunkt beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach $20$ Sekunden steht der Dragster.

(2)

Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs in Abbildung 2 grafisch dar. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung für die Funktion $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ mit der Länge $805\text{ Metern}$ an. Zeigen Sie, dass der Dragster innerhalb dieser Zone zum Stehen kommt.