Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Nachtermin · GTR (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion ff vierten Grades, die durch f(x)=18x4−34x2f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2 (x∈Rx \in \mathbb{R}) gegeben ist.

Den Graphen von ff zeigt Abbildung 1 dargestellt:

Teilaufgabe c

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von ff verläuft, ist der Graph der Funktion ss mit s(x)=−58s(x) = -\frac{5}{8}.

c)(1)

Zeichnen Sie die Sekante in Abbildung 1 ein.

Die Sekante und der Graph von ff besitzen außerdem Schnittpunkte bei x=−5x = -\sqrt{5} und x=5x = \sqrt{5}.

[Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

c)(2)

Weisen Sie rechnerisch nach: ∫−55(s(x)−f(x)) dx=0\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x = 0.

c)(3)

c)(4)

Geben Sie jetzt ohne zusätzliche Rechnung die Werte der folgenden Integrale an und begründen Sie Ihre Angaben (z. B. mithilfe von Abbildung 1):

Teilaufgabe d(2)

d)(2)

Zwischen den Graphen der Funktionen ff und tt liegt eine Fläche, die sich aus zwei Teilflächen zusammensetzt. Eine Schülerin vermutet, dass die größere Teilfläche mehr als das Achtfache der kleineren Teilfläche beträgt. Prüfen Sie, ob diese Vermutung stimmt.

Teilaufgabe e

Für jede reelle Zahl a>0a > 0 schließen der Graph der Funktion pap_a mit der Gleichung pa(x)=a⋅x2p_a(x) = a\cdot x^2 und der Graph der Funktion ff im Bereich x≥0x \ge 0 eine Fläche ein. Diese Fläche wird durch die xx-Achse unterteilt.

Abbildung 2 auf dieser Seite dient als Arbeitshilfe und entspricht inhaltlich Abbildung 1.

e)(1)

Zeichnen Sie in Abbildung 2 den Graphen von p0,3p_{0{,}3} (mit a=0,3a=0{,}3) ein:

e)(2)

Ermitteln Sie in Abhängigkeit von aa die Stellen x1x_1, x2x_2 und x3x_3, an denen gemeinsame Punkte der Graphen von pap_a und ff liegen.

[Zur Überprüfung: x1=−6+8⋅a, x2=0, x3=6+8⋅ax_1 = -\sqrt{6+8\cdot a},\, x_2 = 0,\, x_3 = \sqrt{6+8\cdot a}.]

e)(3)

Ermitteln Sie einen Ansatz, mit dem sich der Wert von aa berechnen lässt, für den die xx-Achse die eingeschlossene Fläche in zwei gleich große Teile teilt.

Aufgabenstellung: Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

c)(2) Weisen Sie rechnerisch nach: ∫_{-√5}^{√5} (s(x)-f(x)) dx = 0.

Lösung: ∫−55(s(x)−f(x)) dx=[−58x−140x5+14x3]−55=0\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x = \left[-\frac{5}{8}x - \frac{1}{40}x^5 + \frac{1}{4}x^3\right]_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} = 0

c)(3) Ermitteln Sie ∫_{1}^{√5} (s(x)-f(x)) dx.

Lösung: 0,4 / 2/5

c)(4) Wert des Integrals ∫_{-√5}^{-1} (s(x)-f(x)) dx:

Lösung: 0,4 / 2/5

c)(4) Wert des Integrals ∫_{-1}^{1} (f(x)-s(x)) dx:

Lösung: 0,8 / 4/5

c)(4) Begründung der Angaben zu den Integralen:

Lösung: Da f und s achsensymmetrisch sind, ist A₁ = A₃ = 0,4. Wegen des Gesamtwerts 0 des Integrals von -√5 bis √5 ist A₂ = A₁ + A₃ = 0,8.

d)(2) Rechnerische Prüfung der Behauptung über die Teilflächen:

Lösung: x1=−(6+3)2≈−2,72,x2=6−32≈−0,28,x3=32x_1 = \frac{-(\sqrt{6}+3)}{2} \approx -2{,}72,\quad x_2 = \frac{\sqrt{6}-3}{2} \approx -0{,}28,\quad x_3 = \frac{3}{2} A1=∫x1x2(t(x)−f(x)) dx=93680≈2,85A_1 = \int_{x_1}^{x_2} (t(x)-f(x))\,\mathrm{d}x = \frac{93\sqrt{6}}{80} \approx 2{,}85 A2=∫x2x3(f(x)−t(x)) dx=936160−351320≈0,33A_2 = \int_{x_2}^{x_3} (f(x)-t(x))\,\mathrm{d}x = \frac{93\sqrt{6}}{160} - \frac{351}{320} \approx 0{,}33 2,850,33≈8,64>8\frac{2{,}85}{0{,}33} \approx 8{,}64 > 8

d)(2) Prüfen Sie, ob diese Vermutung stimmt.

Lösung: Ja / trifft zu

e)(2) Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a die Stellen x₁, x₂ und x₃, an denen gemeinsame Punkte der Graphen von p_a und f liegen.

Lösung: x1=−6+8a,x2=0,x3=6+8ax_1 = -\sqrt{6+8a},\quad x_2 = 0,\quad x_3 = \sqrt{6+8a}

e)(3) Ermitteln Sie einen Ansatz, mit dem sich der Wert von a berechnen lässt, für den die x-Achse die eingeschlossene Fläche in zwei gleich große Teile teilt.

Lösung: ∫06+8a(pa(x)−f(x)) dx=2⋅(−∫06f(x) dx)\int_{0}^{\sqrt{6+8a}} (p_a(x)-f(x))\,\mathrm{d}x = 2\cdot\left(-\int_{0}^{\sqrt{6}} f(x)\,\mathrm{d}x\right)

c)(1) und e)(1) Zeichnungen der Sekante s und der Parabel p_{0,3}

Lösung: c)(1) Sekante s: Die Sekante ss verläuft als waagerechte Gerade auf der Höhe y=−58=−0,625y = -\frac{5}{8} = -0{,}625 durch die beiden Wendepunkte (1∣−58)(1 \mid -\frac{5}{8}) und (−1∣−58)(-1 \mid -\frac{5}{8}). e)(1) Graph von p_{0,3}: Parabel mit Scheitelpunkt im Ursprung (0∣0)(0|0), die nach oben geöffnet ist und durch (0∣0)(0|0) sowie z. B. (±2∣1,2)(\pm 2 \mid 1{,}2) verläuft.

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