Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einem Motorsportwettbewerb an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase, bis die jeweilige Höchstgeschwindigkeit erreicht ist, durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$ beschrieben. Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ für die Momentangeschwindigkeit des betreffenden Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der jeweilige Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den nachstehenden Teilaufgaben sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei kurz $f$ genannt.

In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ dargestellt.

b) (1) (i)

Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extremstellen besitzt.

b) (1) (ii)

Geben Sie an, welche maximale Geschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: Die Maximalstelle von $f$ ist $t_{\max} = 6$.]

b) (2)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren maximalen Wert annimmt.

b) (3) (i)

Mit $F(t)$ wird die Länge der Strecke modelliert, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zu einem Zeitpunkt $t$ zurücklegt. Dabei muss für die Funktion $F$ die Bedingung $F'(t) = f(t)$ gelten.

Begründen Sie, dass die Funktion $F$ durch die Bedingung $F'(t) = f(t)$ allein noch nicht eindeutig bestimmt ist.

b) (3) (ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung für die Funktion $F$ neben $F'(t) = f(t)$ an, durch die $F$ mit beiden Bedingungen eindeutig bestimmt ist.