Aufgabe 2 (WTR 1) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR) (2022)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion ss mit s(x)=a⋅sin⁡(b⋅x)+1s(x) = a \cdot \sin(b \cdot x) + 1. Die Punkte E1(−2∣−1)E_1(-2 \mid -1) und E2(2∣3)E_2(2 \mid 3) sind direkt aufeinanderfolgende Extrempunkte des Graphen von ss.

b

Es gilt ∫−22s(x) dx=4\int_{-2}^{2} s(x)\,\mathrm{d}x = 4. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 3, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 (WTR 1) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2022

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

b Es gilt ∫−22s(x) dx=4\int_{-2}^{2} s(x)\,\mathrm{d}x = 4. Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung 3, wie man zu diesem Wert mit geometrischen Überlegungen gelangen kann.

Lösung: Der Graph von s ist punktsymmetrisch zum Punkt (0|1). Dadurch heben sich bzw. ergänzen sich die Flächenstücke oberhalb und unterhalb der Mittellinie: Das Flächenstück A₁ entspricht A₄ und A₂ entspricht A₃. Der Wert des Integrals stimmt daher mit dem Flächeninhalt des Quadrats der Seitenlänge 2 überein, also 2² = 4.

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