Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Für einen Skatepark ist ein neuer Teilabschnitt geplant. Der Längsschnitt dieses Abschnitts ist im Entwurf des Architekten in Abbildung 1 dargestellt.

Der Abschnitt besteht aus vier Betonelementen mit senkrechten Seitenwänden. Die äußeren Elemente E1 und E4 haben die Form von Quadern. Bei den mittleren Elementen E2 und E3 werden die oberen Randlinien aus Abbildung 1 durch zwei ganzrationale Funktionen $f$ und $g$ beschrieben ( Abbildung 2). Die unteren Randlinien aller vier Elemente in Abbildung 1 werden durch die $x$-Achse beschrieben.

Damit störungsfreies Fahren möglich ist, sollen die oberen Randlinien der Elemente – mit Ausnahme des Übergangs von E3 zu E4 – „knickfrei“ aneinander anschließen.

Die obere Randlinie von Element E2 wird vom Architekturbüro für $-4 \le x \le 4{,}8$ durch die Funktion $f$ modelliert mit

$$f(x) = -\frac{1}{256}x^4 + \frac{1}{8}x^2 + 1{,}2 \;, \quad x \in \mathbb{R}\;.$$

Eine Längeneinheit im Koordinatensystem steht in der Realität für $1\text{ m}$.

Für die vier Betonelemente der Skatebahn wird ein besonders belastbarer Spezialbeton verwendet. Er verursacht Materialkosten von $176\text{ € pro }\text{m}^3$. Die Skatebahn ist durchgehend $5\text{ m}$ breit.

b)

Ermitteln Sie, welche Materialkosten für das Element E2 anfallen. [3 Punkte]

Legen Sie im weiteren Verlauf für die Modellierung von E3 die folgende Gleichung zugrunde: $$g(x) = \frac{11}{150}(x - 8{,}4)^2 + \frac{132}{125}$$

d) (1)

Im ersten Entwurf sind für E3 anfangs Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ vorgesehen.

(i)

Stellen Sie eine Gleichung auf, durch die sich die Länge $d$ des Elements E3 für Materialkosten von $10\,800\text{ €}$ berechnen lässt. [2 Punkte]

Die Lösung der Gleichung liefert eine Länge von $d \approx 8{,}24\text{ [m]}$.

(ii)

Bestimmen Sie die sich daraus ergebenden Materialkosten für E4, wenn E4 fest eine Länge von $1{,}5\text{ m}$ hat. [2 Punkte]

[Kontrolllösung: Für E4 entstehen Materialkosten von etwa $3\,500\text{ €}$.]

d) (2)

Das Architekturbüro erfährt, dass die Materialkosten für E3 und E4 zusammen höchstens $12\,000\text{ €}$ betragen dürfen.

(i)

Berechnen Sie, um wie viel Prozent die Materialkosten des ersten Entwurfs diese Vorgabe überschreiten. [2 Punkte]

(ii)

Deshalb wird im neuen Entwurf die Länge von E3 angepasst. E4 soll weiterhin $1{,}5\text{ m}$ lang sein.

Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die neue Länge $d_{\text{neu}}$ von E3 so bestimmen lässt, dass E3 und E4 zusammen genau $12\,000\text{ €}$ Materialkosten verursachen. [2 Punkte]

[Hinweis: Das Lösen der Gleichung ist nicht erforderlich.]