Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch die Gleichung $f(x) = 9 \cdot (x - 3) \cdot \mathrm{e}^{-1{,}5(x - 3)}$, $x \in \mathbb{R}$, festgelegt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Es sei $z$ eine Zahl mit $\frac{11}{3} < z < \frac{13}{3}$ und $R(z \mid f(z))$ ein Punkt. Der Graph der Funktion $t$ ist die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $R$. Für $x < z$ betrachtet man den Graphen von $f$, für $x \ge z$ den Graphen von $t$. Abbildung 2 zeigt diese Situation am Beispiel $z = 3{,}9$.

Zusammen mit der $x$-Achse begrenzen die betrachteten Graphen von $f$ und $t$ die in Abbildung 2 schraffierte Fläche. Mit den folgenden Bedingungen lässt sich $z$ so bestimmen, dass diese Fläche den Inhalt $4$ Flächeneinheiten hat:

I: $t(z) = f(z)$

II: $t'(z) = f'(z)$

III: $\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$, wobei $c$ die Nullstelle von $t$ ist.

Für $k \in \mathbb{R}$ und $k > 0$ ist die Funktionenschar $g_k$ gegeben durch die Gleichung

$$g_k(x) = 4 \cdot k^2 \cdot (x - 3) \cdot \mathrm{e}^{-k(x - 3)}, \quad x \in \mathbb{R}$$

Es gilt $g_{1{,}5} = f$.

a) (2)

Eine Fläche wird vom Graphen der Funktion $f$, der $x$-Achse und der Geraden mit der Gleichung $x = 7$ begrenzt.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt.

a) (3)

Geben Sie für $w \to \infty$ den Wert von $\displaystyle\int_3^w f(x)\,\mathrm{d}x$ sowie dessen geometrische Deutung an.

b) (1) (ii)

Erläutern Sie, was die linke Seite der Gleichung in Bedingung III darstellt: $\displaystyle\int_3^z f(x)\,\mathrm{d}x + \int_z^c t(x)\,\mathrm{d}x = 4$; dabei ist $c$ die Nullstelle von $t$.

c) (3)

Die Funktion $G_k$ mit $G_k(x) = -4 \cdot k \cdot \left(x - 3 + \dfrac{1}{k}\right) \cdot \mathrm{e}^{-k(x-3)}$ ist eine Stammfunktion von $g_k$.

Für $x \ge 3$ wird zwischen der $x$-Achse und dem Graphen von $g_k$ die nach rechts unbegrenzte Fläche $A$ eingeschlossen.

Prüfen Sie rechnerisch, ob der Flächeninhalt von $A$ von $k$ abhängig ist.