Aufgabe B3 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Mount Everest Region. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu, beim Start dagegen auf eine tiefe Schlucht. Die Ortsbebauung reicht direkt an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ modelliert; eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter in der Wirklichkeit.

a)

(3) Stellen Sie für die Ebene $E$, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen, eine Parametergleichung auf.

b)

Für eine sichere Landung muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine $20\text{ m}$ lange, geradlinige Markierungsstrecke $s$, die quer über die Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Sie unterteilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 392{,}25 \\ 0 \\ 16{,}25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in [0;1], \text{ ist eine Parameterform der Strecke } s.$$

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug und fliegt entlang der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$

Prüfen Sie durch Rechnung, ob das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

Ja

Nein

c)

Damit Landungen sicher bleiben, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür soll eine Drohne längs einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden

$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 523 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad n \in \mathbb{R}, \text{ im Abstand von } 12\text{ m zur Landebahn fliegen.}$$

[Hinweis: Der Abstand ist senkrecht zur Landebahn zu messen.]

(1) Beschreiben Sie, wie die Gerade $m$ im Sachzusammenhang liegt.

Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix}$ ist orthogonal zur Ebene $E$.

(3) Ermitteln Sie durch Rechnung eine Parametergleichung für eine passende Gerade $h$.