Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2022

Die Abbildung 1 zeigt das sogenannte Saarpolygon, ein im Inneren begehbares Denkmal zur Erinnerung an den stillgelegten Kohlebergbau im Saarland. Das Saarpolygon kann in einem Koordinatensystem modellhaft durch den Streckenzug dargestellt werden, der aus den drei Strecken $\overline{\text{AB}}$, $\overline{\text{BC}}$ und $\overline{\text{CD}}$ mit $\text{A}(11|11|0)$, $\text{B}(-11|11|28)$, $\text{C}(11|-11|28)$ und $\text{D}(-11|-11|0)$ besteht (vgl. Abbildung 2). A, B, C und D sind Eckpunkte eines Quaders. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Die Ebene $\text{E}$ enthält die Punkte A, B und C, die Ebene $\text{F}$ die Punkte B, C und D.

a)

Begründen Sie, dass die Punkte B und C symmetrisch bezüglich der $x_3$-Achse liegen.

[2 BE]

b)

Berechnen Sie die Länge des Streckenzugs in der Wirklichkeit.

[3 BE]

d)

Berechnen Sie die Größe $\varphi$ des Winkels, unter dem $E$ die $x_1x_2$-Ebene schneidet.

Geben Sie einen Term an, mit dem aus $\varphi$ die Größe des Winkels zwischen den Ebenen $E$ und $F$ berechnet werden kann.

[5 BE]

e)

Die Ebene $E$ teilt den Quader in zwei Teilkörper. Bestimmen Sie das Verhältnis der Volumina der beiden Teilkörper, ohne die Volumina zu berechnen.

[4 BE]

f)

Das Saarpolygon wird mit verschiedenen Blickrichtungen betrachtet. Die Abbildungen 3 und 4 stellen das Saarpolygon für zwei Blickrichtungen schematisch dar.

Geben Sie zu jeder der beiden Abbildungen 3 und 4 einen möglichen Vektor an, der die zugehörige Blickrichtung beschreibt. Stellen Sie das Saarpolygon schematisch für eine Betrachtung von oben dar.

[4 BE]

g)

Der Punkt $P(0|0|h)$ liegt innerhalb des Quaders und hat von den drei Strecken $\overline{AB}$, $\overline{BC}$ und $\overline{CD}$ den gleichen Abstand. Das folgende Gleichungssystem liefert den Wert von $h$:

$$\text{I } \vec{OQ} = \begin{pmatrix} 11 \\ 11 \\ 0 \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} -22 \\ 0 \\ 28 \end{pmatrix}, \quad t \in [0; 1]$$

$$\text{II } \vec{PQ} \circ \vec{AB} = 0$$

$$\text{III } |\vec{PQ}| = 28 - h$$

Erläutern Sie die Überlegungen, die diesem Vorgehen zur Bestimmung des Werts von $h$ zugrunde liegen.

[4 BE]