Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2022

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder im Motorsport an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit speziellen Fahrzeugen, den Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW beträgt.

Für ein Rennen eines solchen Dragsters beschreibt die Funktion $f$ mit der Gleichung die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit:

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$ Hierbei steht $t$ für die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ für die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Der Zeitpunkt, zu dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, ist durch die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$ gegeben. Die lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist dabei zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Nachweis nicht erforderlich.]

In Abbildung 1 ist der Graph der Funktion $f$ dargestellt.

Teilaufgabe a (4)

(4) Die Funktion $F(t)$ soll die Strecke beschreiben, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei soll für $F$ die Bedingung $F'(t)=f(t)$ erfüllt sein.

(i)

Begründen Sie, dass $F$ allein durch die Bedingung $F'(t)=f(t)$ noch nicht eindeutig bestimmt ist.

(ii)

Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an die Funktion $F$ an, durch die $F$ zusammen mit $F'(t)=f(t)$ eindeutig bestimmt ist.

Teilaufgabe b

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Starts des Dragsters befindet es sich genau neben ihm. Seine konstante Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ modelliert; dabei ist $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) und ermitteln Sie, für welche Zeitdauer das Kamerafahrzeug in den ersten sechs Sekunden schneller als der Dragster ist.

(2)

Geben Sie an, welche Strecke das Kamerafahrzeug in den ersten vier Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(3)

Nach diesen Modellierungen legen das Kamerafahrzeug und der Dragster in den ersten vier Sekunden nach dem Start ungefähr gleich lange Strecken zurück. Begründen Sie dies mithilfe von Abbildung 1.

(4)

Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_{0}^{1}(g(t)-f(t))\,\mathrm{d}t$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

Teilaufgabe c

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters für die ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Sobald der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, fährt er zwei weitere Sekunden mit gleichbleibender Geschwindigkeit. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit grafisch dar. Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert.

[Zur Kontrolle: Der Dragster überquert die Ziellinie etwa 6,9 Sekunden nach dem Start.]

Der Fahrer beginnt acht Sekunden nach dem Start zu bremsen. Ab diesem Zeitpunkt wird die Geschwindigkeit des Dragsters durch eine lineare Funktion $b$ beschrieben. Nach 20 Sekunden steht der Dragster.

(2)

Stellen Sie in Abbildung 2 die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs grafisch dar. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Funktion $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ von $805\text{ Metern}$ Länge an. Zeigen Sie, dass der Dragster innerhalb dieser Zone zum Stehen kommt.