Abitur NRW Mathematik 2022 · GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungskolleg

Das Umweltbundesamt erfasst fortlaufend die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft. In Düsseldorf wurden die Konzentrationswerte über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) gemessen und durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \; 0 \le t \le 10$$

modelliert. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

(2)

Berechnen Sie, welchen Wert der Term $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ annimmt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie $k'(8)$ und interpretieren Sie das Ergebnis im Kontext der Aufgabe.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

(1)

Geben Sie sowohl die Nullstelle von $f$ als auch den Punkt an, in dem der Graph von $f$ die $y$-Achse schneidet.

Betrachtet wird die Funktion $f$ mit $f(x) = (2x + 10) \cdot e^{5x+3}, \quad x \in \mathbb{R}$.

(2)

Bestimmen Sie, welche Steigung der Graph von $f$ an der Stelle $x = -2$ besitzt.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

(1)

Berechnen Sie $\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit der Gleichung $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

In Abbildung 1 ist der Graph von $f$ zu sehen.

(2)

Die Abbildungen 2a und 2b zeigen die Graphen der Funktionen $A$ und $B$.

Genau eine der beiden Funktionen ist keine Stammfunktion von $f$.

Begründen Sie mithilfe der Graphen, welche der beiden Funktionen $A$ und $B$ keine Stammfunktion von $f$ ist.

Es seien $Q(-2|4|-1)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$ vorgegeben.

(1)

Zeigen Sie, dass die Gerade $g$ durch den Punkt $P(10\,|\,8\,|\,5)$ verläuft.

$t =$

Es seien $Q(-2|4|-1)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \vec{OQ} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \; t \in \mathbb{R}$ vorgegeben.

(2)

Bestimmen Sie die Koordinaten sämtlicher Punkte der Geraden $g$, deren Entfernung vom Punkt $Q$ $35\text{ LE}$ beträgt.

$P_1($ | |)

$P_2($ | |)

e) Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $A$, $B$ und $C$ bestimmen ein Parallelogramm $OABC$. Die nachfolgende Abbildung 3 zeigt dieses Parallelogramm $OABC$ mit seinen Diagonalen $e$ und $f$.

(1)

Es seien die Vektoren $\vec{u} = \vec{OA} + \vec{AB}$ und $\vec{v} = \vec{OA} - \vec{AB}$ gegeben.

Einer dieser beiden Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gehört zur Diagonalen $e$, der andere zur Diagonalen $f$.

Geben Sie an, welchem der beiden Vektoren die Diagonale $f$ zugeordnet ist.

$\vec{u}$

$\vec{v}$

Für die weiteren Teilaufgaben besitzen die Eckpunkte $A$ und $B$ die Koordinaten $A(2 \mid 0 \mid 2\sqrt{3})$ und $B(4 \mid -3 \mid 3\sqrt{3})$.

(2)

Zeigen Sie, dass für den Eckpunkt $C$ gilt: $C(2 \mid -3 \mid \sqrt{3})$.

(3)

Zeigen Sie, dass die Diagonalen $e$ und $f$ aufeinander senkrecht stehen.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Traditionell misst die Strecke eine Viertel- oder Achtelmeile. Die dafür eingesetzten Fahrzeuge, sogenannte Dragster, erreichen Leistungen von bis zu mehreren tausend PS bzw. kW.

Die Geschwindigkeit eines solchen Dragsters während eines Rennens wird in der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$. Diese lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

a)

(1)

Geben Sie an, welchen Funktionswert $f$ an der Stelle 2 besitzt, und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

(2)

Ermitteln Sie rechnerisch, an welcher Stelle $t_{\max}$ die Funktion $f$ ihr Maximum annimmt, und geben Sie die größte Geschwindigkeit des Dragsters an.

[Zur Kontrolle: $t_{\max} = 6$.]

(3)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert annimmt.

Aufgabenstellung:

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich durchfahren. Traditionell misst die Strecke eine Viertel- oder Achtelmeile. Die dafür eingesetzten Fahrzeuge, sogenannte Dragster, erreichen Leistungen von bis zu mehreren tausend PS bzw. kW.

Die Geschwindigkeit eines solchen Dragsters während eines Rennens wird in der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der Höchstgeschwindigkeit durch die Funktion $f$ mit der Gleichung

$$f(t) = 35t \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{6}t}, \quad t \in \mathbb{R}$$

beschrieben. Hierbei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $f(t)$ die Momentangeschwindigkeit in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle $t_{\max}$ der Funktion $f$. Diese lokale Maximalstelle der Funktion $f$ ist zugleich die globale Maximalstelle der Funktion $f$. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich.]

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

a) (4)

Die Funktion $F(t)$ soll die Strecke beschreiben, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei muss für $F$ die Bedingung $F'(t) = f(t)$ erfüllt sein.

(i) Begründen Sie, warum die Bedingung $F'(t) = f(t)$ allein die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt.

(ii) Geben Sie eine weitere Bedingung an, die $F$ zusätzlich zu $F'(t) = f(t)$ erfüllen muss, damit $F$ durch beide Bedingungen eindeutig bestimmt ist.

b)

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der konstanten Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Dragster-Starts befindet es sich unmittelbar neben diesem. Die Funktion $g$ modelliert die konstante Geschwindigkeit des Kamerafahrzeugs; dabei ist $t$ die Zeit seit dem Start des Dragsters und $g(t)$ die Geschwindigkeit.

(1) Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) ein und ermitteln Sie, für welche Dauer das Kamerafahrzeug in den ersten sechs Sekunden eine höhere Geschwindigkeit als der Dragster hat.

(2) Geben Sie an, welche Strecke das Kamerafahrzeug in den ersten vier Sekunden nach dem Start zurücklegt.

(3) Nach diesen Modellierungen legen das Kamerafahrzeug und der Dragster in den ersten vier Sekunden nach dem Start etwa gleich lange Strecken zurück.

Begründen Sie dies mithilfe von Abbildung 1.

(4) Bestimmen Sie den Wert des Integrals $\int_0^1 (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t$ und erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

c)

Abbildung 2 zeigt die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start.

Hat der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, behält er diese noch zwei weitere Sekunden bei. In dieser Zeit passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist $402\text{ m}$ lang.

(1) Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit in Abbildung 2 grafisch dar.

Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start der Dragster die Ziellinie überquert.

[Zur Kontrolle: Etwa 6,9 Sekunden nach dem Start überquert der Dragster die Ziellinie.]

Acht Sekunden nach dem Start leitet der Fahrer den Bremsvorgang ein. Von da an beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach $20\text{ Sekunden}$ steht der Dragster still.

(2) Stellen Sie die Geschwindigkeit des Dragsters während des Bremsvorgangs in Abbildung 2 grafisch dar.

Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung der Funktion $b$.

(3) Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ mit einer Länge von $805\text{ Metern}$ an. Zeigen Sie, dass der Dragster innerhalb dieser Zone anhält.

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Der Graph von $f$ wird in der nebenstehenden Abbildung 1 gezeigt.

Mithilfe dieser Informationen lässt sich eine Gleichung der Funktion $f$ bestimmen.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $f$.

[Zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2$, $x \in \mathbb{R}$]

$f(x) =$

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Der Graph von $f$ wird in der nebenstehenden Abbildung 1 gezeigt.

b)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten aller lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$. [5 Punkte]

d) (1)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Graph der Funktion $t$ mit $t(x) = -\frac{9}{16}\cdot x - \frac{27}{128},\ x \in \mathbb{R}$, den Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{3}{2} \;\middle|\; f\left(\frac{3}{2}\right)\right)$ tangential berührt. [2 Punkte]

e)

Für jedes $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ sind die Punkte $P(0\mid 0)$, $Q_u(u\mid 0)$ und $R_u(u\mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks $PQ_uR_u$.

(1) Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ folgendermaßen gegeben ist: $$A(u) = -\frac{1}{16}\cdot u^5 + \frac{3}{8}\cdot u^3$$ [2 Punkte]

(2) Ermitteln Sie den Wert von $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist. [2 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Der Graph von $f$ wird in der nebenstehenden Abbildung 1 gezeigt.

c)

Die Sekante, die die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verbindet, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1) Zeichnen Sie diese Sekante in Abbildung 1 ein.

Die Sekante und der Graph von $f$ schneiden sich außerdem bei $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$. [Dies muss nicht nachgewiesen werden.]

(2) (i) Ermitteln Sie $\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$ und $\int_{1}^{\sqrt{5}} (s(x)-f(x))\,\mathrm{d}x$. [2 Punkte]

(ii) Geben Sie nun ohne zusätzliche Rechnung die Werte der Integrale an und begründen Sie Ihre Angaben: [3 Punkte]

d) (2)

Zwischen den Graphen der Funktionen $f$ und $t$ liegt eine Fläche, die sich aus zwei Teilflächen zusammensetzt. Eine Schülerin vermutet, dass die größere Teilfläche mehr als das Achtfache der kleineren Teilfläche beträgt. Prüfen Sie, ob diese Vermutung zutrifft. [5 Punkte]

f) (2)

Für jedes $a > 0$ schließen der Graph von $p_a$ ($p_a(x) = a\cdot x^2$) und der Graph der Funktion $f$ im Bereich $x \ge 0$ eine Fläche ein. Diese Fläche wird durch die x-Achse unterteilt. Ermitteln Sie den Wert von $a$, für den die x-Achse die eingeschlossene Fläche halbiert. [5 Punkte]

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Der Graph von $f$ wird in der nebenstehenden Abbildung 1 gezeigt.

Für jede reelle Zahl $a > 0$ ist durch die Gleichung $p_a(x) = a \cdot x^2$ eine Funktion $p_a$ gegeben.

Beispielhaft zeigt Abbildung 2 neben dem Graphen von $f$ auch den Graphen von $p_{0{,}3}$ ($a = 0{,}3$).

f)

(1) Der Graph von $p_{\frac{3}{8}}$ $\left(a = \frac{3}{8}\right)$ und der Graph von $f$ besitzen die drei gemeinsamen Punkte $M$, $N$ und $O(0|0)$.

Berechnen Sie, wie groß der Umfang des Dreiecks $MNO$ ist.

$U \approx$

[LE]

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Mount Everest Region. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu, beim Start dagegen auf eine tiefe Schlucht. Die Ortsbebauung reicht direkt an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ modelliert; eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter in der Wirklichkeit.

a)

(3) Stellen Sie für die Ebene $E$, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen, eine Parametergleichung auf.

b)

Für eine sichere Landung muss ein Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn aufsetzen. Als Orientierungshilfe für den Piloten dient eine $20\text{ m}$ lange, geradlinige Markierungsstrecke $s$, die quer über die Landebahn verläuft (siehe Abbildung 2). Sie unterteilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

$$\vec{x} = \begin{pmatrix} 392{,}25 \\ 0 \\ 16{,}25 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 20 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad t \in [0;1], \text{ ist eine Parameterform der Strecke } s.$$

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug und fliegt entlang der Geraden

$$g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R}.$$

Prüfen Sie durch Rechnung, ob das Flugzeug bei gleichbleibendem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

Ja

Nein

c)

Damit Landungen sicher bleiben, wird die Landebahn regelmäßig überprüft. Hierfür soll eine Drohne längs einer Geraden $h$ fliegen, die parallel zur Geraden

$$m: \vec{x} = \begin{pmatrix} 523 \\ 10 \\ 0 \end{pmatrix} + n \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix}, \quad n \in \mathbb{R}, \text{ im Abstand von } 12\text{ m zur Landebahn fliegen.}$$

[Hinweis: Der Abstand ist senkrecht zur Landebahn zu messen.]

(1) Beschreiben Sie, wie die Gerade $m$ im Sachzusammenhang liegt.

Der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix}$ ist orthogonal zur Ebene $E$.

(3) Ermitteln Sie durch Rechnung eine Parametergleichung für eine passende Gerade $h$.

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Mount Everest Region. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur ca. 527 m in der Länge und ca. 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab; dabei rollen die Flugzeuge bei der Landung auf eine Felswand zu, beim Start dagegen auf eine tiefe Schlucht. Die Ortsbebauung reicht direkt an die Landebahn heran.

¹ © Frank Kehren

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523 \mid 0 \mid 0)$, $B(523 \mid 20 \mid 0)$, $C$ und $D(0 \mid 0 \mid 65)$ modelliert; eine Längeneinheit entspricht dabei einem Meter in der Wirklichkeit.

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten von Punkt $C$ an.

$C($

$|$

$|$

$)$

a) (2)

Weisen Sie mithilfe einer Rechnung nach, dass die Strecke $|\overline{AD}|$, also die Landebahn, ungefähr $527\text{ m}$ misst.

a) (4)

Berechnen Sie, welchen Winkel die Landebahn mit der Horizontalen einschließt, sowie die Steigung der Landebahn in Prozent.

°

%

c) (2)

Zeigen Sie, dass der Vektor $\vec{v} = \begin{pmatrix} 65 \\ 0 \\ 523 \end{pmatrix}$ sowohl zu $\begin{pmatrix} 523 \\ 65 \\ -65 \end{pmatrix}$ als auch zu $\begin{pmatrix} -523 \\ -20 \\ 65 \end{pmatrix}$ senkrecht verläuft.

Jeder Mensch gehört einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB) an. Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

a) Um Komplikationen bei einer Bluttransfusion zu vermeiden, müssen die Blutmerkmale Blutgruppe und Rhesusfaktor berücksichtigt werden. Gemeinsam legen diese beiden Merkmale fest, welche Person für welche andere als Blutspender infrage kommt.

(1)

Weisen Sie nach, dass bei Personen mit der Blutgruppe B etwa 18,2 % den Rhesusfaktor negativ haben.

(2)

Zwei Personen mit der Blutgruppe B werden zufällig ausgewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Personen denselben Rhesusfaktor haben.

Jeder Mensch gehört einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB) an. Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

b)

In den nachstehenden Teilaufgaben gilt für jede Blutgruppe die Annahme, dass die Anzahl der Personen mit dieser Blutgruppe unter 200 zufällig ausgewählten Personen binomialverteilt ist.

Die relativen Häufigkeiten der Tabelle auf Seite 1 sind dabei als Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 200 zufällig ausgewählten Personen mindestens 20 die Blutgruppe B haben.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis $E$:

$E$: Die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A unter 200 zufällig ausgewählten Personen liegt höchstens 1,5-Standardabweichungen von ihrem Erwartungswert entfernt.

c)

Blut der Blutgruppe 0 mit Rhesusfaktor negativ hat eine besondere Bedeutung. Wegen seiner guten Verträglichkeit wird es in Notfällen besonders oft verwendet.

Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ wenigstens 20 Spenden der Blutgruppe 0 mit Rhesusfaktor negativ vorliegen.

Jeder Mensch gehört einer der vier Blutgruppen (0, A, B und AB) an. Zusätzlich gibt es mit dem Rhesusfaktor ein weiteres Blutmerkmal, das entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie häufig die einzelnen Blutmerkmale auftreten, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

d) Die Blutgruppe kann sich auf den Schweregrad von Krankheitsverläufen auswirken. Für eine bestimmte Erkrankung beträgt die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs in der Gesamtbevölkerung $10\,\%$. Eine Wissenschaftlerin vermutet, dass diese Wahrscheinlichkeit bei Personen mit Blutgruppe A niedriger ist, und möchte dies überprüfen. Dafür betrachtet sie die Krankheitsverläufe von $1\,000$ zufällig ausgewählten, an dieser Krankheit erkrankten Personen mit Blutgruppe A und stellt fest, wie viele von ihnen einen schweren Verlauf hatten.

Nur wenn in der Stichprobe höchstens $84$ Personen einen schweren Verlauf hatten, schließt sie daraus, dass die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Erkrankten mit Blutgruppe A kleiner als $10\,\%$ ist.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wissenschaftlerin eine geringere Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Personen mit Blutgruppe A annimmt, obwohl diese in Wirklichkeit $10\,\%$ beträgt. [2 Punkte]

(2)

Nun sei angenommen, dass die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Personen mit Blutgruppe A tatsächlich nur $8\,\%$ beträgt.

Bestimmen Sie unter dieser Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Wissenschaftlerin dennoch folgert, die Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf bei Personen mit Blutgruppe A sei nicht kleiner als $10\,\%$. [3 Punkte]

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regelt der Körper durstender Dromedare die Körpertemperatur so, dass die Tiere weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Teilaufgabe a)

a) (1)

Ermitteln Sie, wie lange die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\text{C}$ beträgt. [2 Punkte]

a) (2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren fällt sie aufgrund ihrer Anpassung an das Wüstenleben deutlich größer aus als beim Menschen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne der Körpertemperatur des Dromedars im untersuchten Zeitraum. [6 Punkte]

a) (3)

Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Körpertemperatur des Dromedars im untersuchten Zeitraum am stärksten zunimmt. [3 Punkte]

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regelt der Körper durstender Dromedare die Körpertemperatur so, dass die Tiere weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Teilaufgabe b)

Der Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a; b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr. [2 Punkte]

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regelt der Körper durstender Dromedare die Körpertemperatur so, dass die Tiere weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

c) Auch bis zum Tagesende um 24 Uhr nimmt die Körpertemperatur des durstenden Dromedars weiter ab. Für $20 \le t \le 24$ wird dieser Verlauf durch eine lineare Funktion $g$ beschrieben, deren Graph im Punkt $(20 \mid k(20))$ ohne Knick an den Graphen von $k$ anschließt.

(1)

Berechnen Sie eine Gleichung für die lineare Funktion $g$.

(2)

Um 24 Uhr liegt die Körpertemperatur dieses Dromedars bei ungefähr 37 °C.

Prüfen Sie, ob der mit $g$ modellierte Temperaturwert zu der um 24 Uhr gemessenen Körpertemperatur passt.

°C

Passt die Modellierung zur gemessenen Temperatur?

Ja

Nein

Aufgabenstellung:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regelt der Körper durstender Dromedare die Körpertemperatur so, dass die Tiere weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars näherungsweise durch die Funktion $k$ modelliert mit

$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

d) Die Körpertemperatur einiger anderer Dromedare wird für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ beschrieben mit

$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden seit Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Wie groß $a$ ist, hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

(1)

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ welcher Graph zuzuordnen ist.

Graph I:

Graph II:

Graph III:

(2)

Der Graph von $f_a$ hat für alle $a > 0$ das Maximum im Intervall $[0; 20]$ an der Stelle $t \approx 15{,}92$.

Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\ \mathrm{^\circ C}$ nicht.

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a > 0$ diese Bedingung durch die Funktion $f_a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ erfüllt wird.