Aufgabe B5 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur aushalten und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb wird bei durstenden Dromedaren die Körpertemperatur so geregelt, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Betrachtet wird nun, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr verändert.

Die Körpertemperatur dieses Dromedars wird für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch die Funktion $k$ beschrieben mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für einige andere Dromedare wird die Körpertemperatur für $0 \le t \le 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ modelliert mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Wert von $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars und von der Umgebungstemperatur ab.

a) (1)

Ermitteln Sie die Dauer, während der die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ \text{°C}$ beträgt.

c) (1)

Die Körpertemperatur einiger anderer Dromedare wird für $0 \leq t \leq 20$ (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ beschrieben mit$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Dabei gibt $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ die Körpertemperatur in Grad Celsius an. In Abbildung 2 sind zusätzlich zum Graphen von $k$ die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$ sowie $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$ abgebildet.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ welcher Graph zugeordnet ist:

Graph I:

Graph II:

Graph III:

c) (2)

Der Graph von $f_a$ hat für alle $a > 0$ das Maximum im Intervall $[0; 20]$ an der Stelle $t \approx 15{,}92$. Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\ \text{°C}$ nicht.

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a > 0$ die Funktion $f_a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ diese Bedingung einhält.

$a \leq$