Aufgabe B2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2022

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt im Punkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$ einen Wendepunkt.

Der Graph von $f$ wird in der nebenstehenden Abbildung 1 gezeigt.

b)

Ermitteln Sie durch Rechnung die Koordinaten aller lokalen Extrempunkte des Graphen von $f$. [5 Punkte]

d) (1)

Weisen Sie durch Rechnung nach, dass der Graph der Funktion $t$ mit $t(x) = -\frac{9}{16}\cdot x - \frac{27}{128},\ x \in \mathbb{R}$, den Graphen von $f$ im Punkt $\left(\frac{3}{2} \;\middle|\; f\left(\frac{3}{2}\right)\right)$ tangential berührt. [2 Punkte]

e)

Für jedes $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ sind die Punkte $P(0\mid 0)$, $Q_u(u\mid 0)$ und $R_u(u\mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks $PQ_uR_u$.

(1) Weisen Sie nach, dass der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ folgendermaßen gegeben ist: $$A(u) = -\frac{1}{16}\cdot u^5 + \frac{3}{8}\cdot u^3$$ [2 Punkte]

(2) Ermitteln Sie den Wert von $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$, für den der Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ maximal ist. [2 Punkte]