Abitur NRW Mathematik 2022 · LK · Nachtermin · CAS

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

Aufgabenstellung:

a) Das Umweltbundesamt erfasst fortlaufend die Konzentration von Stickstoffdioxid in der Luft. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Messwerte erhoben, die durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60,\quad t \in \mathbb{R},\ 0 \leq t \leq 10$$ beschrieben werden. Dabei steht $t$ für die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden und $k(t)$ für die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g/m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die momentane Änderungsrate der Stickstoffdioxidkonzentration $4\ \mu\text{g/m}^3$ pro Stunde beträgt.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

Betrachtet wird die Funktion $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$, die die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ besitzt.

(1)

Berechnen Sie die Größe der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

FE

(2)

Gegeben ist die Funktionenschar $g_a$ mit $g_a(x) = a \cdot f(x + 2)$, $a \in \mathbb{R}, a > 1$.

Geben Sie mit Begründung an, wie sich die Größe der Fläche zwischen dem Graphen von $g_a$ und der $x$-Achse gegenüber dem Flächeninhalt aus (1) verändert.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

(1)

Geben Sie an, in welchem Punkt der Graph von $f_a$ die $y$-Achse schneidet.

$S_y($

$\mid$

$)$

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

(2)

Der Graph von $f_a$ hat für jedes $a$ genau einen Extrempunkt $E$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $E$ in Abhängigkeit von $a$.

[Hinweis: Eine hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.]

$E($

$\mid$

$)$

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(1)

In den Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d werden die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ gezeigt. Von diesen Funktionen sind genau zwei keine Stammfunktionen von $f$.

Begründen Sie unter Verwendung der Funktionsgraphen, bei welchen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ es sich nicht um Stammfunktionen von $f$ handelt.

Funktion

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

(2)

Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von $f$ an.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

e) Betrachtet werden die Ebene $E: 5 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 - x_3 = -4$ und die Punkte $A(2|1|2)$ sowie $B_u(u|2u|u)$, $u \in \mathbb{R}$. Dabei liegt $A$ nicht in $E$.

(1)

Zu jedem $u \in \mathbb{R}$ gehört eine Gerade $g_u$, die $A$ und $B_u$ enthält.

Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den $g_u$ parallel zu $E$ ist.

(2)

Geben Sie eine Parameterdarstellung der Ebene $F$ an, in der der Punkt $A$ und sämtliche Punkte $B_u$ mit $u \in \mathbb{R}$ liegen.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

f) Der Koordinatenursprung $O$ sowie die Punkte $A(a_1|a_2)$, $B$ und $C(c_1|c_2)$ mit reellen Zahlen $a_1$, $a_2$, $c_1$ und $c_2$ bestimmen in der $x_1x_2$-Ebene ein Parallelogramm $OABC$.

Zusätzlich seien die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} a_1+c_1 \\ a_2+c_2 \end{pmatrix}$ und $\vec{v} = \begin{pmatrix} a_1-c_1 \\ a_2-c_2 \end{pmatrix}$ gegeben.

Abbildung 3 zeigt das Parallelogramm $OABC$.

(1)

Von den Vektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ gehört einer zur Diagonalen $e$ und der andere zur Diagonalen $f$.

Geben Sie an, welcher der beiden Vektoren die Diagonale $f = \overline{CA}$ beschreibt.

$\vec{u}$

$\vec{v}$

(2)

Ein Viereck mit vier gleich langen Seiten wird als Raute bezeichnet.

Beweisen Sie: Stehen $\vec{u}$ und $\vec{v}$ senkrecht aufeinander, so ist das Parallelogramm eine Raute.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

Prüfungsteil A: Aufgaben ohne Hilfsmittel

Aufgabenstellung:

a) Regelmäßig erfasst das Umweltbundesamt die Stickstoffdioxidkonzentration in der Luft. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Konzentrationswerte gemessen, die durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \ 0 \le t \le 10$$

modelliert. Dabei gibt $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden an und $k(t)$ die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist. [1 Punkt]

(2)

Berechnen Sie den Wert des Terms $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang. [2 Punkte]

(3)

Berechnen Sie den Zeitpunkt, an dem die Stickstoffdioxidkonzentration momentan um $4\ \mu\text{g}/\text{m}^3$ pro Stunde zunimmt. [2 Punkte]

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

Betrachtet wird die Funktion $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$, die die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ besitzt.

(1)

Berechnen Sie die Größe der Fläche, die vom Graphen von $f$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

(2)

Gegeben ist die Funktionenschar $g_a$ mit $g_a(x) = a \cdot f(x+2)$, $a \in \mathbb{R}, a > 1$.

Geben Sie mit Begründung an, wie sich der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von $g_a$ und der $x$-Achse gegenüber dem Flächeninhalt aus (1) verändert.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

(1)

Geben Sie an, in welchem Punkt der Graph von $f_a$ die $y$-Achse schneidet.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

(2)

Die Funktion $f_a$ hat für jedes $a$ genau einen Extrempunkt $E$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $E$ in Abhängigkeit von $a$.

[Hinweis: Eine hinreichende Bedingung muss nicht nachgewiesen werden.]

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

In den Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d sind die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ dargestellt.

(1) Die Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d zeigen die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$. Von diesen Funktionen sind genau zwei keine Stammfunktionen von $f$.

Begründen Sie unter Heranziehung der Funktionsgraphen, bei welchen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ es sich nicht um Stammfunktionen von $f$ handelt.

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

In den Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d sind die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ dargestellt.

(2) Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von $f$ an.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

e) Eine Firma erstellt einen Test, der aus mehreren Fragen besteht. Bei jeder einzelnen Frage liegt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort zu erraten, bei $\frac{1}{4}$.

Jonas bearbeitet den Test, ohne jemals mit dem Thema vertraut gewesen zu sein; bei jeder Frage antwortet er daher rein zufällig.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt, wie viele Fragen richtig beantwortet werden, und wird als binomialverteilt angenommen.

Durch den Aufbau des Tests ist zu erwarten, dass Jonas beim Raten im Mittel sechs Fragen richtig beantwortet.

(1)

Ermitteln Sie die Anzahl der Fragen, aus denen der Test besteht.

(2)

Jonas will mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % wenigstens eine Frage richtig beantworten.

Ermitteln Sie mithilfe der folgenden Histogramme, wie viele Fragen Jonas hierfür mindestens bearbeiten muss.

(3)

Auch bei einem weiteren Test beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine Antwort richtig zu erraten, bei jeder Frage $\frac{1}{4}$. Die Anzahl richtig beantworteter Fragen lässt sich hier durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ modellieren. Die Standardabweichung von $Y$ beträgt $3$.

Berechnen Sie, wie viele Fragen dieser Test enthält.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x) = (a \cdot x - a^2) \cdot e^{-\frac{1}{a}x+3}$, $x \in \mathbb{R}, a > 0$.

f) Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ mit den Parametern $n = 4$ und $p = 0{,}5$.

(1)

Ermitteln Sie die Werte, die in der nachstehenden Tabelle noch fehlen.

$k$ · 0 · 1 · 2 · 3 · 4

$P(X = k)$ · $\frac{1}{16}$ · · · · $\frac{1}{16}$

Eine der beiden folgenden Abbildungen 3 und 4 zeigt die kumulierten Werte $P(X \le k)$ der Zufallsgröße $X$. Die andere Abbildung stellt eine andere Zufallsgröße dar.

(2)

Entscheiden Sie mit Begründung, welche der Abbildungen 3 und 4 die Zufallsgröße $X$ darstellt.

Abbildung 3

Abbildung 4

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(a\cdot x-a^2)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3},\; x\in\mathbb{R},\; a > 0$.

Das Umweltbundesamt erfasst in regelmäßigen Abständen, wie viel Stickstoffdioxid in der Luft enthalten ist. In Düsseldorf wurden über zehn Stunden ab 8 Uhr (Beobachtungsbeginn) Konzentrationswerte aufgenommen und durch die folgende Funktion $k$ mit

$$k(t) = 0{,}75t^2 - 8t + 60, \quad t \in \mathbb{R}, \; 0 \le t \le 10$$

beschrieben. Dabei gibt $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden an und $k(t)$ die Stickstoffdioxidkonzentration zum Zeitpunkt $t$ in $\mu\text{g}/\text{m}^3$.

(1)

Bestimmen Sie, wie hoch die Stickstoffdioxidkonzentration um 18 Uhr ist.

(2)

Berechnen Sie, welchen Wert der Term $\dfrac{k(10)-k(8)}{10-8}$ annimmt, und interpretieren Sie dieses Ergebnis im Sachzusammenhang.

(3)

Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Stickstoffdioxidkonzentration momentan mit $4\;\mu\text{g}/\text{m}^3$ pro Stunde zunimmt.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(a\cdot x-a^2)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3},\; x\in\mathbb{R},\; a > 0$.

Betrachtet wird die Funktion $f(x) = -\frac{1}{2}x^2 + x + \frac{3}{2}$, die die Nullstellen $x_1 = -1$ und $x_2 = 3$ besitzt.

(1)

Berechnen Sie die Größe der Fläche, die der Graph von $f$ und die $x$-Achse miteinander begrenzen.

(2)

Gegeben ist die Funktionenschar $g_a$ mit $g_a(x) = a\cdot f(x+2)$, $a\in\mathbb{R}, a > 1$.

Geben Sie begründet an, wie sich die Fläche zwischen dem Graphen von $g_a$ und der $x$-Achse gegenüber dem Flächeninhalt aus (1) verändert.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(a\cdot x-a^2)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3},\; x\in\mathbb{R},\; a > 0$.

(1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes an, in dem der Graph von $f_a$ die $y$-Achse schneidet.

$S_y($

$\mid$

$)$

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(a\cdot x-a^2)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3},\; x\in\mathbb{R},\; a > 0$.

(2)

Zu jedem $a$ hat $f_a$ genau einen Extrempunkt $E$.

Bestimmen Sie die Koordinaten von $E$ in Abhängigkeit von $a$.

[Hinweis: Eine hinreichende Bedingung müssen Sie nicht nachweisen.]

$E($

$\mid$

$)$

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$:

Die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ sind in den Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d abgebildet:

(1)

Die Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d zeigen die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$. Von diesen Funktionen sind genau zwei keine Stammfunktionen von $f$.

Begründen Sie mithilfe der Funktionsgraphen, bei welchen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ es sich nicht um Stammfunktionen von $f$ handelt.

Funktion

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = 2x^3 - x^2 - 4x + 1$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$:

Die Graphen der Funktionen $A$, $B$, $C$ und $D$ sind in den Abbildungen 2a, 2b, 2c und 2d abgebildet:

(2)

Geben Sie eine Funktionsgleichung einer Stammfunktion von $f$ an.

$F(x) =$

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(a\cdot x-a^2)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3},\; x\in\mathbb{R},\; a > 0$.

Betrachtet werden die Ebene $E: 5 \cdot x_1 + 2 \cdot x_2 - x_3 = -4$ und die Punkte $A(2|1|2)$ sowie $B_u(u|2u|u)$, $u \in \mathbb{R}$. Dabei liegt $A$ nicht in $E$.

(1)

Zu jedem $u \in \mathbb{R}$ gehört eine Gerade $g_u$, die die Punkte $A$ und $B_u$ verbindet.

Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den $g_u$ parallel zu $E$ liegt.

(2)

Geben Sie eine Parameterdarstellung derjenigen Ebene $F$ an, in der der Punkt $A$ sowie sämtliche Punkte $B_u$ mit $u \in \mathbb{R}$ liegen.

Gegeben ist die Funktionenschar $f_a$ mit $f_a(x)=(a\cdot x-a^2)\cdot\mathrm{e}^{-\frac{1}{a}x+3},\; x\in\mathbb{R},\; a > 0$.

Eine Firma erstellt einen Test, der aus mehreren Fragen besteht. Bei jeder Frage liegt die Wahrscheinlichkeit, die richtige Antwort zu erraten, bei $\frac{1}{4}$.

Jonas bearbeitet den Test, ohne sich jemals mit dem Thema befasst zu haben; er wählt daher bei jeder Frage zufällig eine Antwort.

Die Zufallsgröße $X$ beschreibt die Anzahl der richtig beantworteten Fragen und wird als binomialverteilt angenommen.

Bedingt durch den Aufbau des Tests ist zu erwarten, dass Jonas beim Raten sechs Fragen richtig beantwortet.

(1)

Ermitteln Sie die Anzahl der Fragen, aus denen der Test besteht.

(2)

Jonas möchte mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 80 % mindestens eine Frage richtig beantworten.

Ermitteln Sie mithilfe der folgenden Histogramme, wie viele Fragen Jonas hierfür mindestens bearbeiten muss.

(3)

Auch bei einem weiteren Test liegt die Wahrscheinlichkeit, eine Frage durch Raten richtig zu beantworten, bei $\frac{1}{4}$. Die Anzahl der richtig beantworteten Fragen in diesem Test lässt sich durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $Y$ beschreiben. Die Standardabweichung von $Y$ ist $3$.

Berechnen Sie, wie viele Fragen dieser Test enthält.

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einer Motorsportveranstaltung an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich bewältigen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, \ k > 0$$ beschrieben. Dabei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die Momentangeschwindigkeit des jeweiligen Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem ein Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

a) Nach zwei Sekunden hat ein Dragster schon eine Geschwindigkeit von $50\text{ m/s}$ erreicht.

(1)

Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $k$.

(2)

Bei einem zweiten Dragster beträgt $k = 0{,}2$.

Keiner der beiden Dragster erreicht innerhalb der ersten vier Sekunden seine Höchstgeschwindigkeit. Während dieser vier Sekunden ist eines der beiden Fahrzeuge durchgehend schneller als das andere.

Entscheiden Sie, welcher der beiden Dragster während dieser vier Sekunden die größere Geschwindigkeit hat, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Funktionsterme.

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einer Motorsportveranstaltung an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich bewältigen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$

beschrieben. Dabei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die Momentangeschwindigkeit des jeweiligen Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem ein Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei mit $f$ bezeichnet.

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

b) (1)

(i) Untersuchen Sie rechnerisch, an welchen Stellen die Funktion $f$ lokale Extrema besitzt.

(ii) Geben Sie an, welche Höchstgeschwindigkeit der Dragster erreicht.

[Zur Kontrolle: Für die Maximalstelle von $f$ gilt $t_{\max} = 6$.]

s

m/s

(2)

Als Beschleunigung bezeichnet man die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit.

Bestimmen Sie die Beschleunigung des Dragsters zu Beginn des Rennens und weisen Sie rechnerisch nach, dass sie zu diesem Zeitpunkt ihren größten Wert annimmt.

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einer Motorsportveranstaltung an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich bewältigen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$

beschrieben. Dabei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die Momentangeschwindigkeit des jeweiligen Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem ein Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei mit $f$ bezeichnet.

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

b) (3)

Mit $F(t)$ soll die Strecke beschrieben werden, die der Dragster in der Beschleunigungsphase vom Start bis zum Zeitpunkt $t$ zurückgelegt hat. Dabei muss die Funktion $F$ die Bedingung $F'(t) = f(t)$ erfüllen.

(i) Begründen Sie, warum die Bedingung $F'(t) = f(t)$ allein die Funktion $F$ noch nicht eindeutig bestimmt.

(ii) Geben Sie eine zusätzliche Bedingung an, die $F$ neben $F'(t) = f(t)$ erfüllen muss, damit $F$ durch beide Bedingungen zusammen eindeutig bestimmt ist.

Bei einem Beschleunigungsrennen, auch Dragsterrennen genannt, treten Autos oder Motorräder in einer Motorsportveranstaltung an und müssen nach dem Start eine gerade Strecke so schnell wie möglich bewältigen. Üblicherweise misst die Strecke eine Viertel- oder eine Achtelmeile. Gefahren wird mit sogenannten Dragstern, deren Leistung bis zu mehrere tausend PS bzw. kW betragen kann.

Für Rennen verschiedener Dragster wird die Geschwindigkeit während der Beschleunigungsphase bis zum Erreichen der jeweiligen Höchstgeschwindigkeit durch Funktionen $h_k$ mit

$$h_k(t) = 35 \cdot t \cdot \mathrm{e}^{-k \cdot t}, \quad t, k \in \mathbb{R}, k > 0$$

beschrieben. Dabei bezeichnet $t$ die seit dem Start vergangene Zeit in Sekunden (s) und $h_k(t)$ die Momentangeschwindigkeit des jeweiligen Dragsters in Meter pro Sekunde (m/s).

Den Zeitpunkt, an dem ein Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, liefert die lokale Maximalstelle der zugehörigen Funktion $h_k$.

In den folgenden Aufgabenteilen sei $k = \frac{1}{6}$. Die Funktion $h_{\frac{1}{6}}$ wird dabei mit $f$ bezeichnet.

Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Parallel zur Rennstrecke bewegt sich ein Kamerafahrzeug mit der gleichbleibenden Geschwindigkeit $45\text{ m/s}$. Im Moment des Dragster-Starts liegt das Kamerafahrzeug unmittelbar neben dem Dragster. Diese konstante Geschwindigkeit wird durch eine Funktion $g$ beschrieben; dabei ist $g(t)$ die Geschwindigkeit und $t$ die seit dem Start des Dragsters vergangene Zeit.

(1)

Zeichnen Sie den Graphen von $g$ in das Koordinatensystem (Abbildung 1) ein und bestimmen Sie im Bereich $0 \leq t \leq t_{\text{max}}$ die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Graphen von $f$ und $g$.

$(

$|$

$)$

(2)

Für $a = 1$ beträgt das Integral $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t$ ungefähr $29{,}3$.

Erläutern Sie, was dieser Wert im Sachzusammenhang bedeutet.

(3)

Erläutern Sie im Sachzusammenhang ohne zusätzliche Rechnung, bei welchem Wert von $a$ im Intervall $[0; 6]$ das Integral aus c)(2) maximal wird, und geben Sie dieses Maximum an.

$a \approx$

m

(4)

Für genau einen Wert von $a$ mit $0 < a < 6$ ist $\int_0^a (g(t) - f(t))\,\mathrm{d}t = 0$.

Bestimmen Sie diesen Wert von $a$ und erläutern Sie, was er im Sachzusammenhang bedeutet.

$a \approx$

In Abbildung 2 ist die Geschwindigkeit des Dragsters während der ersten sechs Sekunden nach dem Start zu sehen.

Sobald der Dragster seine Höchstgeschwindigkeit erreicht hat, bewegt er sich noch zwei weitere Sekunden mit unveränderter Geschwindigkeit. In diesem Zeitraum passiert er die Ziellinie. Die Rennstrecke ist 402 m lang.

Der Fahrer leitet acht Sekunden nach dem Start das Bremsen ein. Ab diesem Zeitpunkt beschreibt eine lineare Funktion $b$ die Geschwindigkeit des Dragsters. Nach 20 Sekunden, gerechnet vom Start, steht der Dragster still.

(1)

Stellen Sie in Abbildung 2 den Verlauf der Dragster-Geschwindigkeit während der Phase mit konstanter Geschwindigkeit grafisch dar.

Bestimmen Sie, wie viele Sekunden nach dem Start vergehen, bis der Dragster die Ziellinie passiert.

[Zur Kontrolle: Der Dragster passiert die Ziellinie etwa 6,9 Sekunden nach dem Start.]

(2)

Der Fahrer leitet acht Sekunden nach dem Start den Bremsvorgang ein. Ab diesem Zeitpunkt wird die Geschwindigkeit des Dragsters durch eine lineare Funktion $b$ modelliert. Der Dragster steht 20 Sekunden nach dem Start still.

Stellen Sie in Abbildung 2 den Verlauf der Dragster-Geschwindigkeit während des Bremsvorgangs grafisch dar.

Bestimmen Sie durch Rechnung eine Funktionsgleichung für $b$.

(3)

Hinter der Ziellinie schließt sich eine „Bremszone“ von 805 Metern Länge an.

Zeigen Sie, dass der Dragster noch innerhalb dieser Zone zum Stillstand kommt.

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades, die durch folgende Funktionsgleichung festgelegt ist:

$$f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen von $f$:

a)

Betrachtet wird eine ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades. Ihr Graph verläuft durch den Koordinatenursprung und ist symmetrisch bezüglich der $y$-Achse. Der Graph von $f$ besitzt den Wendepunkt $W_2\left(1 \middle| -\frac{5}{8}\right)$.

Mit diesen Informationen lässt sich eine Funktionsgleichung von $f$ bestimmen.

Ermitteln Sie eine Gleichung der Funktion $f$.

[Zur Kontrolle: $f(x) = \frac{1}{8} \cdot x^4 - \frac{3}{4} \cdot x^2,\; x \in \mathbb{R}$.] (5 Punkte)

$a =$

$b =$

$c =$

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades, die durch folgende Funktionsgleichung festgelegt ist:

$$f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen von $f$:

Für jedes $u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$ sind die Punkte $P(0 \mid 0)$, $Q_u(u \mid 0)$ und $R_u(u \mid f(u))$ die Eckpunkte eines Dreiecks $PQ_uR_u$.

(1)

Weisen Sie nach, dass sich der Flächeninhalt $A(u)$ des Dreiecks $PQ_uR_u$ so darstellen lässt:$$A(u) = -\frac{1}{16} \cdot u^5 + \frac{3}{8} \cdot u^3$$

(2)

Ermitteln Sie den maximalen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_uR_u$ mit $0 < u < \sqrt{6}$.

Betrachtet wird die ganzrationale Funktion $f$ vierten Grades, die durch folgende Funktionsgleichung festgelegt ist:

$$f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2, \quad x \in \mathbb{R}$$

Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen von $f$:

Die Sekante, die durch die beiden Wendepunkte des Graphen von $f$ verläuft, ist der Graph der Funktion $s$ mit $s(x) = -\frac{5}{8}$.

(1)

Zeichnen Sie die Sekante in die vorliegende Abbildung ein.

Diese Sekante schneidet den Graphen von $f$ außerdem an den Stellen $x = -\sqrt{5}$ und $x = \sqrt{5}$.

[Ein Nachweis wird nicht verlangt.]

(2) (i)

Ermitteln Sie $\int\limits_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} (s(x) - f(x))\,dx$.

(2) (ii)

Begründen Sie unter Nutzung Ihres Ergebnisses (z. B. anhand der Abbildung) ohne zusätzliche Rechnung:$$\int\limits_{-1}^{1} (f(x) - s(x))\,dx = 2 \cdot \int\limits_{-\sqrt{5}}^{-1} (s(x) - f(x))\,dx$$

Betrachtet wird die Funktion $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f$ ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

Für jedes $b \in \mathbb{R}$ ist der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$beschreibt die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$.

Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$ sind die Lösungen der Gleichung $f(x) = t_b(x)$. Mit einem Computeralgebrasystem erhält man dafür die Lösungen $x_1$, $x_2$ und $x_3$:$$x_1 = b, \quad x_2 = -b - \sqrt{6 - 2b^2}, \quad x_3 = -b + \sqrt{6 - 2b^2}.$$

d) (1)

Zeigen Sie: Für jedes $b \in \mathbb{R}$ stellt der Graph von $t_b$ mit

$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2} b^3 - \frac{3}{2} b\right) x - \frac{3}{8} b^4 + \frac{3}{4} b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$

die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$ dar.

d) (2) (iii)

Ermitteln Sie rechnerisch, wie groß der maximale Abstand in $y$-Richtung zwischen den Graphen von $f$ und $t_1$ im Intervall $[-3; 1]$ ist.

Betrachtet wird die Funktion $f(x) = \frac{1}{8}x^4 - \frac{3}{4}x^2$ mit $x \in \mathbb{R}$. Der Graph von $f$ ist in der folgenden Abbildung zu sehen:

Für jedes $b \in \mathbb{R}$ ist der Graph von $t_b$ mit$$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2, \quad x \in \mathbb{R},$$beschreibt die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$.

Die x-Koordinaten der gemeinsamen Punkte der Graphen von $f$ und $t_b$ sind die Lösungen der Gleichung $f(x) = t_b(x)$. Mit einem Computeralgebrasystem erhält man dafür die Lösungen $x_1$, $x_2$ und $x_3$:$$x_1 = b, \quad x_2 = -b - \sqrt{6 - 2b^2}, \quad x_3 = -b + \sqrt{6 - 2b^2}.$$

d) (1)

Zeigen Sie: Der Graph von $t_b$ mit $$t_b(x) = \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{3}{2}b\right)x - \frac{3}{8}b^4 + \frac{3}{4}b^2,\quad x \in \mathbb{R},$$ ist für jedes $b \in \mathbb{R}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P_b(b \mid f(b))$.

d) (2) (i)

Geben Sie für $b = 1$ die Stellen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ an und zeichnen Sie den Graphen von $t_1$ in die Abbildung ein.

$x_1 =$

$x_2 =$

$x_3 =$

d) (2) (ii)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den die Graphen von $f$ und $t_1$ einschließen.

d) (2) (iii)

Ermitteln Sie rechnerisch den größten Abstand in y-Richtung, den die Graphen von $f$ und $t_1$ im Intervall $[-3;1]$ zueinander haben.

d) (3) (i)

Außer für $b = 1$ gibt es drei weitere Werte von $b$, bei denen die Graphen von $f$ und $t_b$ eine Fläche begrenzen, die nur aus einem Teilstück besteht. Ermitteln Sie diese Werte.

d) (3) (ii)

Begründen Sie, dass die Graphen der Funktionen $f$ und $t_b$ für $b < -\sqrt{3}$ und für $b > \sqrt{3}$ keine Fläche einschließen.

d) (4)

Die Graphen von $f$ und $t_{\frac{3}{2}}$ begrenzen eine Fläche aus zwei Teilstücken. Eine Schülerin meint, die größere der beiden Teilflächen sei mehr als achtmal so groß wie die kleinere. Prüfen Sie, ob diese Behauptung zutrifft.

d) (5)

Im Bereich $1 < b < \sqrt{3}$ gilt für die Werte $x_1$, $x_2$ und $x_3$ (siehe oben): $x_2 < x_3 < x_1$. Die Graphen von $f$ und $t_b$ schließen für $1 < b < \sqrt{3}$ eine Fläche ein, die aus zwei Teilstücken besteht. Eines dieser Teilstücke liegt unterhalb des Graphen von $t_b$ und das andere Teilstück liegt oberhalb des Graphen von $t_b$. [Diese Aussagen können Sie ohne Nachweis verwenden.] Es gibt genau einen Wert von $b$ mit $1 < b < \sqrt{3}$, für den diese beiden Teilstücke den gleichen Flächeninhalt besitzen. Geben Sie einen Ansatz an, mit dem sich dieser Wert berechnen lässt.

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließen Gebäude des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

a) (1)

Geben Sie die Koordinaten des Punktes $C$ an.

$C($

$|$

$|$

$)$

a) (2)

Weisen Sie durch eine Rechnung nach, dass die Landebahn die Länge $|\overline{AD}|$ von ca. $527\text{ m}$ hat.

a) (4)

Berechnen Sie den Winkel, den die Landebahn mit der Horizontalen einschließt, sowie die Steigung der Landebahn in Prozent.

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließen Gebäude des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

a) (3)

Stellen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene $E$ auf, in der die Punkte $A$, $B$ und $D$ liegen.

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließen Gebäude des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe b)

b) (1)

Damit eine Landung sicher gelingt, muss das Flugzeug im ersten Viertel der Landebahn den Boden berühren. Als Orientierungshilfe für den Piloten gibt es quer zur Landebahn eine geradlinige Markierungsstrecke $s$ der Länge $20\text{ m}$ (siehe Abbildung 2). Sie unterteilt die Landebahn im Verhältnis $1:3$.

Stellen Sie $s$ in Parameterform dar.

b) (2)

Ein Flugzeug fliegt im Landeanflug entlang der Geraden

$$g_a: \vec{x} = \begin{pmatrix} 670 \\ 10 \\ 22 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -15{,}5 \\ 0 \\ a \end{pmatrix}, \quad r \in \mathbb{R},$$

die die Ebene $E$ im Punkt $S$ mit

$$S\left( \frac{652891}{1046a - 2015} + 670 \;\middle|\; 10 \;\middle|\; \frac{-42122a}{1046a - 2015} + 22 \right)$$

trifft. [Ein Nachweis ist nicht erforderlich]

(i)

Geben Sie an, zwischen welchen Werten die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ liegen muss, damit das Flugzeug bei unverändertem Kurs im ersten Viertel der Landebahn aufsetzt.

$\le x_1 \le$

(ii)

Ermitteln Sie alle Werte für $a$ so, dass die $x_1$-Koordinate des Schnittpunktes $S$ zwischen den Werten aus (i) liegt.

$< a <$

Aufgabenstellung:

Vom Tenzing-Hillary Flughafen in Lukla (Nepal) aus starten Bergtouren in die Region um den Mount Everest. Er zählt zu den gefährlichsten Flughäfen weltweit. Die Landebahn misst nur etwa 527 m in der Länge und etwa 20 m in der Breite und ist geneigt. Gelandet wird ausschließlich bergauf, gestartet ausschließlich bergab: Bei der Landung rollen die Flugzeuge auf eine Felswand zu, beim Start auf eine tiefe Schlucht. Direkt an die Landebahn schließen Gebäude des Ortes an.

In Abbildung 2 wird die rechteckige Landebahn in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Eckpunkte $A(523|0|0)$, $B(523|20|0)$, $C$ und $D(0|0|65)$ modelliert; dabei steht eine Längeneinheit für einen Meter in der Realität.

Teilaufgabe c)

c) (1)

Damit Landungen sicher ablaufen, wird die Landebahn in regelmäßigen Abständen überprüft. Hierfür soll eine Drohne in einer Ebene $K$ fliegen, die zur Ebene $E$ einen Abstand von $12\text{ m}$ hat.

Bestimmen Sie durch Rechnung einen Punkt, der in der Ebene $K$ liegt.

c) (2)

Während das Flugzeug ausrollt, verläuft die rechte Tragflächenspitze auf einer Strecke der Geraden

$$h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 355 \\ 18{,}5 \\ 24 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -523 \\ 0 \\ 65 \end{pmatrix},\quad s \in \mathbb{R}.$$

Rechts neben der Landebahn steht ein großer Baum, dessen Astspitze im Punkt $Q(300 \mid 28 \mid 31)$ liegt.

Bestimmen Sie durch Rechnung den Abstand des Punktes $Q$ von der Geraden $h$.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es ein weiteres Blutmerkmal, den Rhesusfaktor, der entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie sich diese Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

Um Komplikationen bei einer Bluttransfusion zu vermeiden, sind die Blutmerkmale Blutgruppe und Rhesusfaktor zu berücksichtigen. Erst beide Merkmale zusammen legen fest, welche Person für welche andere als Blutspender infrage kommt.

(1)

Weisen Sie nach, dass von den Personen mit der Blutgruppe B etwa $18{,}2\,\%$ den Rhesusfaktor negativ haben.

(2)

Aus der Gruppe der Personen mit Blutgruppe B werden zufällig zwei Personen gewählt.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide ausgewählten Personen denselben Rhesusfaktor haben.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es ein weiteres Blutmerkmal, den Rhesusfaktor, der entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie sich diese Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

b) In den nachstehenden Teilaufgaben gilt für jede Blutgruppe die Annahme, dass die Anzahl der Personen dieser Blutgruppe in einer Zufallsauswahl von 200 Personen binomialverteilt ist.

Die relativen Häufigkeiten aus der Tabelle auf Seite 1 sind dabei als Wahrscheinlichkeiten zu verwenden.

(1)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den zufällig ausgewählten 200 Personen mindestens 20 die Blutgruppe B haben.

(2)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das nachstehende Ereignis $E$:

$E$: Die Anzahl der Personen mit Blutgruppe A unter 200 zufällig ausgewählten Personen liegt höchstens 1,5-Standardabweichungen von ihrem Erwartungswert entfernt.

(3)

Die Abbildungen 1 – 3 zeigen die Wahrscheinlichkeitsverteilungen dreier binomialverteilter Zufallsgrößen. Eine davon beschreibt die Anzahl der Personen mit Blutgruppe B unter 200 zufällig ausgewählten Personen.

Begründen Sie für jede der beiden nicht passenden Abbildungen, weshalb sie nicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Personen mit Blutgruppe B unter 200 zufällig ausgewählten Personen darstellen kann.

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es ein weiteres Blutmerkmal, den Rhesusfaktor, der entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie sich diese Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

c) Blut der Blutgruppe 0 mit Rhesusfaktor negativ hat eine besondere Bedeutung, da es wegen seiner guten Verträglichkeit in Notfällen besonders oft verwendet wird.

Bestimmen Sie, wie viele zufällig ausgewählte Personen mindestens Blut spenden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ wenigstens 20 Spenden der Blutgruppe 0 mit Rhesusfaktor negativ vorliegen.

[4 Punkte]

Aufgabenstellung:

Jeder Mensch gehört zu einer der vier Blutgruppen (0, A, B oder AB). Zusätzlich gibt es ein weiteres Blutmerkmal, den Rhesusfaktor, der entweder positiv oder negativ ausgeprägt ist. Wie sich diese Blutmerkmale auf die Bevölkerung verteilen, unterscheidet sich von Land zu Land.

Für die Bevölkerung Deutschlands gilt näherungsweise die folgende Verteilung 1:

1 Blutspende-Magazin des DRK-Blutspendediensts

https://magazin.blutspende.de/von-a-bis-0/blutgruppen-verteilung-in-der-bevoelkerung (Zugriff: 13.02.2021)

d) Die Blutgruppe kann sich darauf auswirken, wie schwer Erkrankungen verlaufen. Für eine bestimmte Erkrankung beträgt die Wahrscheinlichkeit eines schweren Verlaufs in der Gesamtbevölkerung $10\,\%$. Eine Wissenschaftlerin nimmt an, dass diese Wahrscheinlichkeit bei Menschen mit Blutgruppe A niedriger ist. Bevor sie veröffentlicht, testet sie ihre Annahme mit einem Hypothesentest zum Signifikanzniveau $5\,\%$. Dazu untersucht sie die Krankheitsverläufe von $1\,000$ zufällig ausgewählten Personen mit Blutgruppe A, die an dieser Krankheit erkrankt sind (im Folgenden: Erkrankte), und zählt, wie viele davon einen schweren Verlauf hatten.

Sie legt als Nullhypothese fest: $H_0: p \ge 0{,}1$.

(1)

Erläutern Sie, welchen Fehler die Wissenschaftlerin mit dieser Wahl der Nullhypothese ausschließen will.

[2 Punkte]

(2)

Von $1\,000$ zufällig ausgewählten Erkrankten mit Blutgruppe A haben 85 einen schweren Verlauf dieser Erkrankung.

Beurteilen Sie, ob die Wissenschaftlerin aufgrund dieses Ergebnisses annehmen sollte, dass Personen mit Blutgruppe A eine geringere Wahrscheinlichkeit für einen schweren Verlauf dieser Erkrankung haben.

[3 Punkte]

Nein

Ja

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a) (1)

Ermitteln Sie rechnerisch, wie lange die Körpertemperatur des Dromedars im betrachteten Zeitraum mindestens $38\ ^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

a) (2)

Als Temperaturspanne bezeichnet man den Unterschied zwischen höchster und niedrigster Körpertemperatur. Bei durstenden Dromedaren fällt sie aufgrund der Anpassung an das Wüstenleben deutlich größer aus als beim Menschen.

Bestimmen Sie rechnerisch die Temperaturspanne des Dromedars für den betrachteten Zeitraum.

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Der durchschnittliche Wert einer Funktion $f$ im Intervall $[a; b]$ wird durch $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnet.

b) (1)

Bestimmen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

b) (2)

Nun sollen Zeiträume der Länge zwei Stunden $[u; u+2]$ untersucht werden, die zum Zeitpunkt $u$ beginnen.

Bestimmen Sie diejenigen Werte von $u$, für die die mittlere Körpertemperatur des Dromedars mindestens $40\ ^\circ\mathrm{C}$ beträgt.

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Bis zum Tagesende um 24 Uhr nimmt die Körpertemperatur des durstenden Dromedars weiter ab. Um 24 Uhr liegt sie bei ungefähr $37^\circ\text{C}$. Eine quadratische Funktion $p$ mit $p(t) = a\cdot t^2 + b\cdot t + c$ soll für $20 \le t \le 24$ den Temperaturverlauf modellieren. Im Punkt $(20 \mid k(20))$ soll der Graph von $p$ ohne Knick an den Graphen der Funktion $k$ anschließen. Außerdem soll der Punkt $(24 \mid 37)$ auf dem Graphen von $p$ liegen.

Geben Sie drei Gleichungen an, durch die sich die Funktion $p$ ermitteln lässt.

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur weiterer Dromedare (näherungsweise) durch Funktionen $f_a$ modelliert mit

$$f_a(t) = a\cdot\left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$

Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

Abbildung 2 zeigt neben dem Graphen von $k$ auch die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}2$, $a = 0{,}5$ und $a = 1{,}5$.

Geben Sie an, welchem Wert von $a$ jeder der Graphen jeweils zugeordnet werden kann.

Graph $I$:

Graph $II$:

Graph $III$:

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft mit stark wechselnden Umgebungstemperaturen zurechtkommen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Bei Durst passt sich ihre Körpertemperatur deshalb so an, dass sie weniger schwitzen und dadurch Wasser einsparen.

Betrachtet wird der Verlauf der Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag zwischen 0 Uhr und 20 Uhr.

Für $0 \le t \le 20$ wird die Körpertemperatur dieses Dromedars (näherungsweise) durch die Funktion $k$ modelliert mit$$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Stunden seit Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Für weitere Dromedare lässt sich der Verlauf der Körpertemperatur für $0 \leq t \leq 20$ näherungsweise mit Funktionen $f_a$ modellieren, wobei gilt:$$f_a(t) = a \cdot \left(-\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t\right) + \frac{297}{8}, \quad a > 0.$$Hierbei steht $t$ mit $0 \leq t \leq 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $f_a(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Der Parameter $a$ hängt von der Wasserversorgung des einzelnen Dromedars sowie von der Umgebungstemperatur ab.

Selbst unter extremen Bedingungen übersteigt die Körpertemperatur eines gesunden Dromedars $42\text{ }^\circ\text{C}$ nicht und sinkt auch nicht unter $34\text{ }^\circ\text{C}$.

(i)

Begründen Sie, ohne weitere Rechnung, dass $f_a$ und die Funktion $k$ übereinstimmende Extremstellen besitzen, nämlich $t_1 \approx 4{,}08$ und $t_2 \approx 15{,}92$.

(ii)

Ermitteln Sie, für welche Werte von $a$ im Intervall $0 \leq t \leq 20$ die Funktionswerte $f_a(t)$ weder größer als $42$ noch kleiner als $34$ sind.

Hinweis: Die Randwerte müssen hier nicht untersucht werden.