Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2022

Als Wüstentiere müssen Dromedare oft starke Schwankungen der Umgebungstemperatur ertragen und finden nur unregelmäßig Trinkwasser. Deshalb regulieren durstende Dromedare ihre Körpertemperatur so, dass sie weniger schwitzen und dadurch weniger Wasser verlieren.

Untersucht wird, wie sich die Körpertemperatur eines durstenden Dromedars an einem Wüstentag von $0\text{ Uhr}$ bis $20\text{ Uhr}$ verändert.

Die Funktion $k$ beschreibt näherungsweise die Körpertemperatur dieses Dromedars für $0 \le t \le 20$ mit $$k(t) = -\frac{1}{120}t^3 + \frac{1}{4}t^2 - \frac{779}{480}t + \frac{297}{8} \quad \text{mit } t \in \mathbb{R}.$$ Hierbei steht $t$ mit $0 \le t \le 20$ für die Zeit in Stunden nach Mitternacht und $k(t)$ für die Körpertemperatur in Grad Celsius. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $k$.

Der Ausdruck $\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x$ liefert den Mittelwert einer Funktion $f$ auf dem Intervall $[a; b]$.

b) (1)

Berechnen Sie die mittlere Körpertemperatur des Dromedars für den Zeitraum von 0 Uhr bis 20 Uhr.

b) (2)

Betrachtet werden nun Zeiträume der Länge zwei Stunden $[u; u+2]$ mit dem Beginn $u$.

Bestimmen Sie, für welche Werte von $u$ die mittlere Körpertemperatur des Dromedars mindestens $40\text{ }^\circ\text{C}$ beträgt.